最大优势（1e5）_题解

【题解提供者】张俊豪

解法

思路

首先可以知道数组 $A$ 和数组 $B$ 的顺序均没有关系,所以我们首先将数组 $A$ 和数组 $B$ 进行排序，然后考虑两个数组的第一个元素。有以下两种情况：

1. 如果数组 $A$ 的首个元素大于数组 $B$ 的首个元素，那么就将它看作一对，并计算一点优势，同时从数组中移除这两个元素。
2. 如果数组 $A$ 的首个元素小于等于数组 $B$ 的首个元素 那么就移除数组 $A$ 中的首个元素。

分析

首先我们可以知道，数组 $A$ 和数组 $B$ 的排列顺序不会影响最终的最大优势。

证明：如果在当前排列顺序下，数组 $A$ 相对于数组 $B$ 的优势已经取到了最大值，我们任意选取正整数 $i，k$ $（1\le i，k\le n)$，同时交换 $A_i$ 和 $A_k$ ， $B_i$ 和 $B_k$ 的值，有三种情况:

1. 如果交换之前满足 $A_i>B_i$ 并且 $A_k\le B_k$ ，那么交换后也必然满足 $A_k>B_k$ 且 $A_i\le B_i$ 。当 $A_i\le B_i$ 并且 $A_k>B_k$ 时，同理。

2. 如果交换之前满足 $A_i\le B_i$ 并且 $A_k\le B_k$，那么交换后也必然满足 $A_k\le B_k$ 且 $A_i \le B_i $。

3. 如果交换之前满足 $A_i>B_i$ 并且 $A_k>B_k$，那么交换后也必然满足 $A_k>B_k$ 且 $A_i>B_i$ 。

   可以发现我们改变了数组 $A$ 和数组 $B$ 的顺序，但是数组 $A$ 相对于数组 $B$ 的优势是不改变的。数组 $A$ 和数组 $B$ 的顺序是不会影响最终优势的。

思路的正确性在于：
对于第一种情况，由于 $A$ 是有序的，那么 $A$ 的任意元素大于 $B$ 的首个元素：如果我们不与 $B$ 的首个元素配对，由于 $B$ 是有序的，之后的元素会更大，这样并不划算；如果我们与 $B$ 的首个元素配对，我们使用 $A$ 的首个元素，可以使得剩余的元素尽可能大，之后可以获得更多优势。

对于第二种情况，由于 $B$ 是有序的，那么 $A$ 的首个元素小于等于 $B$ 中的任意元素，因此 $A$ 的首个元素无法增加任何优势，可以直接移除。

在实际的代码编写中，我们不需要真正地移除元素。我们可以采用两个指针 $po{s}_A$ 和 $po{s}_B$ 分别指向数组 $A$ 和数组 $B$ 的首个元素,当需要移除元素时，直接 $pos++$ 即可。

代码

#include 
#include 
using namespace std;

int n;
int A[100010], B[100010];

int main() {
	cin >> n;

	for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> A[i];
	for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> B[i];

	sort(A, A + n); // c ++快速排序函数
	sort(B, B + n);

	int count = 0; //  记录优势数量
	int pos_A = 0, pos_B = 0; // 分别指向 数组A 数组B 的第一个元素
	for (; pos_A <= n; ) {
		if ( A[pos_A] > B[pos_B] ) {
			pos_A ++, pos_B ++; // 数组A和数组B的一个元素被"移除",新的第一个元素的下标为之前的pos+1,即pos ++ 
			count ++; // 优势数量加一 
		} else pos_A ++; //数组A的一个元素被"移除"
	}

	cout << count;// 输出最大优势 
	
	return 0; 
}