求逆矩阵（C++）

求矩阵的逆常见的一般有三种方法（考研常见）：待定系数法、高斯-约旦消元法和伴随矩阵求逆矩阵。

1. 待定系数法：
   假设矩阵A：
   [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] \left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right] ​147​258​369​ ​
   设其逆矩阵为$A^{-1}$：
   [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} \right] ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​
   则有如下方程组：
   $$\{\begin{array}{l}1a_{11}+2a_{21}+3a_{31}=1\\ 1a_{12}+2a_{22}+3a_{32}=0\\ 1a_{13}+2a_{23}+3a_{33}=0\\ 4a_{11}+5a_{21}+6a_{31}=0\\ 4a_{12}+5a_{22}+6a_{32}=1\\ 4a_{13}+5a_{23}+6a_{33}=0\\ 7a_{11}+8a_{21}+9a_{31}=0\\ 7a_{12}+8a_{22}+9a_{32}=0\\ 7a_{13}+8a_{23}+9a_{33}=1\end{array}$$
   解出该方程组即可得到逆矩阵$A^{-1}$。

2. 伴随矩阵求逆矩阵：
   设矩阵$A$的伴随矩阵为$A^{\ast }$，则有
   $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$$
   其中$|A|$为矩阵$A$的行列式。
   伴随矩阵的概念如下（注意里面元素的下标）：
   A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^*=\left[\begin {array}{c} A_{11} &A_{21} &\cdots &A_{n1} \\ A_{12} &A_{22} &\cdots &A_{n2} \\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ A_{1n} &A_{2n} &\cdots &A_{nn} \\ \end{array}\right] A∗= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​
   其中$A_{ij}$为矩阵$A$的第i,j行代数余子式。$M_{ij}$余子式为矩阵$A$去除第i行和j列元素后的矩阵，$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。
   因此如果需要使用这个方法求逆矩阵，则先要实现行列式求值，使用伴随矩阵求逆矩阵的代码如下：

   //使用伴随矩阵法求矩阵的逆
   #include 
   //打印矩阵
   void print_matrix(double **A,int m,int n)
   {
       for (int i = 0; i < m;i++)
       {
           for (int j = 0; j < n;j++)
           {
               std::cout<>n;//输入数组维度
       double **A=new double *[n];
       std::cout<<"Enter the coefficient matrix:"<>A[i][j];//每次输入一个数字都用空格隔开,输入样例
               //1 2 3\enter
               //4 5 6\enter
               //7 8 9\enter
           }
       }
       double **A_inverse=new double *[n];
       for(int i=0;i

   

3. 高斯消元法求逆矩阵
   这个方法用于手算比较多，但是代码实现也比较简单，其原理如下：
   设矩阵$A$:
   A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A=\left[\begin {array}{c} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \\ \end{array}\right] A= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​ ​
   在其右侧增加一个单位矩阵$E$，其实成为增广矩阵$\hat{A}=[A|E]$:
   A ^ = [ a 11 a 12 a 13 ∣ 1 0 0 a 21 a 22 a 23 ∣ 0 1 0 a 31 a 32 a 33 ∣ 0 0 1 ] \hat{A}=\left[\begin {array}{c} a_{11} &a_{12} &a_{13} &|&1&0&0\\ a_{21} &a_{22} &a_{23} &|&0&1&0\\ a_{31} &a_{32} &a_{33} &|&0&0&1\\ \end{array}\right] A^= ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​∣∣∣​100​010​001​ ​
   然后通过初等行变换使得增广矩阵左边变为单位矩阵，右侧就变为了$A$的逆矩阵。
   对应的代码如下：

   //这里展示如何用C++求矩阵的逆矩阵
   #include 
   //矩阵交换某两行
   void matrix_swap_row(double **A,int i,int j,int n)
   {
       double temp;
       for(int k=0;k>n;//输入数组维度
       double **A=new double *[n];
       std::cout<<"Enter the coefficient matrix:"<>A[i][j];//每次输入一个数字都用空格隔开,输入样例
               //1 2 3\enter
               //4 5 6\enter
               //7 8 9\enter
           }
       }
       double **A_inverse=new double *[n];
       for(int i=0;i

   运行结果如下：
   

   上面两个结果都与matlab的输出结果一致，说明程序正确。
   t<<“The inverse matrix of A is:”< for(int i=0;i {
   for(int j=0;j {
   std::cout< }
   std::cout< }
   return 0;
   }

   运行结果如下：
   [外链图片转存中...(img-n8ojYPoe-1707404823324)]
   上面两个结果都与matlab的输出结果一致，说明程序正确。
   ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/2974c6b677134dfdadf65f05468e3f18.png#pic_center)