二叉树和堆（优先队列）
前言：
本章会讲解二叉树及其一些相关练习题，和堆是什么。
二叉树：
二叉树的一些概念：
一棵二叉树是有限节点的集合，该集合可能为空。二叉树的特点是每一个节点最多有两个子树，即二叉树不存在度大于2的节点。且二叉树子树有左右之分，子树顺序不能颠倒。
还有两种特殊的二叉树，完全二叉树和满二叉树。
满二叉树是就是没有度为1的节点。所以当有k层时，它有2^k -1个节点。
完全二叉树有度为1的节点且是连续的。
所以我们可以根据节点的个数计算树的高度。
二叉树的性质：
若规定根节点层数是1，则一颗非空二叉树第i层上最多有2^(i-1)个节点。
若规定根节点层数是1，则深度为h的二叉树的最大节点数为2^h-1个节点。
对任何一颗二叉树如果度为0的节点数是n0，度为2的节点数是n2，则有n0=n2+1。
若规定根节点层数为1，则有n个节点的满二叉树深度为h=LogN。
在具有2n个节点的完全二叉树中，叶子结点个数为n。
练习题：
二叉树的最大深度：
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思路：整棵树的高度 = （左子树的高度 + 右子树的高度）的最大值 + 1。
其实也就是求树的高度，这里我们利用递归来实现：
class Solution {
public int maxDepth(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1;
}
}判断是否为平衡二叉树：
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这里需要用到二叉树的最大深度来完成：
class Solution {
public boolean isBalanced(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
return treeHeigth(root) >= 0;
//时间复杂度：O（n）
}
public int treeHeigth(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
int leftHeigth = treeHeigth(root.left);
if (leftHeigth < 0) {
return -1;
}
int rightHeigth = treeHeigth(root.right);
if (leftHeigth >= 0 && rightHeigth >= 0
&& Math.abs(leftHeigth - rightHeigth) <= 1) {
return Math.max(leftHeigth, rightHeigth) + 1;
} else {
return -1;
}
}
}相同的树：
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class Solution {
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if (p == null && q != null || p != null && q == null) {
return false;
}
//此时，要么两个都为空 要么两个都不为空
if (p == null && q == null) {
return true;
}
//此时两个都不为空
if (p.val != q.val) {
return false;
}
//p != null && q != null && p.val == q.val
return isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);
//时间复杂度为min（n,m）
}
}另一棵树的子树：
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这里我们需要用到判断两树是否相同的代码：
class Solution {
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {
//可能会有空的情况
if (root == null || subRoot == null) {
return false;
}
//类似于BF算法
//1.是不是和根节点相同
if (isSameTree(root, subRoot)) {
return true;
}
//2.判断是不是root的左子树
if (isSubtree(root.left, subRoot)){
return true;
}
//3.右子树
if (isSubtree(root.right, subRoot)) {
return true;
}
//4.返回
return false;
//时间复杂度 O(M * N)
}
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {
if (p == null && q != null || p != null && q == null) {
return false;
}
//此时，要么两个都为空 要么两个都不为空
if (p == null && q == null) {
return true;
}
//此时两个都不为空
if (p.val != q.val) {
return false;
}
//p != null && q != null && p.val == q.val
return isSameTree(p.left, q.left) && isSameTree(p.right, q.right);
//时间复杂度为min（n,m）
}
}翻转二叉树：
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class Solution {
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return null;
}
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}
}对称二叉树：
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class Solution {
public boolean isSymmetric(TreeNode root) {
//根的值一样
//1.左树的左 和 右树的右
//2.左树的右 和 右树的左
if (root == null) {
return true;
}
return isSymmetricChild(root.left, root.right);
}
private boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree, TreeNode rightTree) {
if (leftTree == null && rightTree != null || leftTree != null && rightTree == null) {
return false;
}
if (leftTree == null && rightTree == null) {
return true;
}
if (leftTree.val != rightTree.val) {
return false;
}
return isSymmetricChild(leftTree.left, rightTree.right)
&& isSymmetricChild(leftTree.right, rightTree.left);
}
}最近公共祖先：
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class Solution {
public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {
if (root == null) {
return null;
}
//利用链表相交的道理
//之后利用栈来完成
Stack stack1 = new Stack<>();
Stack stack2 = new Stack<>();
getPath(root, p, stack1);
getPath(root, q, stack2);
while (stack1.size() != stack2.size()) {
if (stack1.size() > stack2.size()) {
stack1.pop();
} else {
stack2.pop();
}
}
while (stack1.peek() != stack2.peek()) {
stack1.pop();
stack2.pop();
}
return stack1.peek();
}
private boolean getPath(TreeNode root, TreeNode node, Stack stack) {
if (root == null || node == null) {
return false;
}
stack.push(root);
if (root == node) {
return true;
}
boolean flag1 = getPath(root.left, node, stack);
if (flag1 == true) {
return true;
}
boolean flag2 = getPath(root.right, node, stack);
if (flag2 == true) {
return true;
}
stack.pop();
return false;
}
} 求树的第K层节点个数：
求树的第k层节点个数，如果不用层序遍历，我们可以使用递归。
思路：整棵树第k层多少个节点 = 左子树的第k-1层节点 + 右子树的第k-1层节点。
A的第3层 = A左树的第2层 + A右树的第2层
int CountLevel(TreeNode root, int k) {
if (root == null) {
return 0;
}
if (k == 1) {
return 1;
}
return CountLevel(root.left, k - 1) + CountLevel(root.right, k - 1);
} 找节点：
我们要找一个节点的位置，找到返回它的地址，否则返回null。
TreeNode find(TreeNode root, char val) {
if (root == null) {
return null;
}
if (root.val = val) {
return root;
}
TreeNode ret1 = find(root.left, val);
if (ret1 != null) {
return ret1;//不去右边了，因为找到了
}
TreeNode ret2 = find(root.right, val);
if (ret2 != null) {
return ret2;
}
return null;
}根据树的前序遍历构建一棵树：
oj链接：二叉树遍历__牛客网
class TreeNode {
public char val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(char val) {
this.val = val;
}
}
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
public static int i = 0;
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
// 注意 hasNext 和 hasNextLine 的区别
while (in.hasNextLine()) { // 注意 while 处理多个 case
String str = in.nextLine();
TreeNode root = creatNode(str);
inorder(root);
}
}
public static TreeNode creatNode(String str) {
//1.遍历str
// for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
// char ch = str.charAt(i);
// }
TreeNode root = null;
if (str.charAt(i) != '#') {
root = new TreeNode(str.charAt(i));
i++;
root.left = creatNode(str);
root.right = creatNode(str);
} else {
i++;
}
//2.根据字符串创建二叉树
//3.返回根节点
return root;
}
public static void inorder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return ;
}
inorder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inorder(root.right);
}
}
判断是否为完全二叉树：
12节（2：44）。
我们利用层序遍历，每次都把所有节点加入队列，包括null。之后遇到null就跳出，之后再判断（此时如果是完全二叉树，则队列中所有元素为null；否则则不是完全二叉树）。
boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
Queue queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
if (cur != null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
} else {
break;
}
}
//判断队列中是否有非空元素
while (!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.peek();
if (cur == null) {
queue.poll();
} else {
return false;
}
}
return true;
} 这里我们使用队列的性质来完成。
层序遍历：
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class Solution {
public List> levelOrder(TreeNode root) {
//利用队列
List> link = new ArrayList<>();
Queue queue = new ArrayDeque<>();
if (root != null) {
queue.offer(root);
}
while(!queue.isEmpty()) {
int n = queue.size();
List level = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
TreeNode node = queue.poll();
level.add(node.val);
if (node.left != null) {
queue.add(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.add(node.right);
}
}
link.add(level);
}
return link;
}
} 根据前序遍历和中序遍历构建二叉树：
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class Solution {
public int preIndex;
public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return buildTreeChild(preorder, inorder, 0, inorder.length - 1);
}
private TreeNode buildTreeChild(int[] preorder, int [] inorder, int inbegin, int inend) {
if (inbegin > inend) {
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(preorder[preIndex]);
int rootIndex = findIndexRoot(inorder, inbegin, inend, preorder[preIndex]);
if (rootIndex == -1) {
return null;
}
preIndex++;
root.left = buildTreeChild(preorder, inorder, inbegin, rootIndex - 1);
root.right = buildTreeChild(preorder, inorder, rootIndex + 1, inend);
return root;
}
private int findIndexRoot(int[] inorder, int inbegin, int inend, int target) {
while (inbegin <= inend) {
if (inorder[inbegin] == target) {
return inbegin;
}
inbegin++;
}
return -1;
}
}根据中序遍历和后序遍历构建二叉树：
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class Solution {
public int endIndex;
public TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
endIndex = postorder.length - 1;
return buildTreeChild(inorder, postorder, 0, postorder.length - 1);
}
private TreeNode buildTreeChild(int[] inorder, int[] postorder, int begin, int end) {
if (begin > end) {
return null;
}
TreeNode root = new TreeNode(postorder[endIndex]);
int rootIndex = findTreeNode(inorder, begin, end, postorder[endIndex]);
if (rootIndex < 0) {
return null;
}
endIndex--;
//这里要先创建右树
root.right = buildTreeChild(inorder, postorder, rootIndex + 1, end);
root.left = buildTreeChild(inorder, postorder, begin, rootIndex - 1);
return root;
}
private int findTreeNode(int[] inorder, int begin, int end, int key) {
while (begin <= end) {
if (inorder[begin] == key) {
return begin;
}
begin++;
}
return -1;
}
}前序遍历非递归：
此时我们借助栈来完成。
void preOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
System.out.print(cur.val + " ");
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.pop();
cur = top.right;
}
} 后序遍历非递归：
void postOrderNor(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Stack stack = new Stack<>();
TreeNode cur = root;
while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
while (cur != null) {
stack.push(cur);
cur = cur.left;
}
TreeNode top = stack.peek();
TreeNode prev = null;//方便记录
if (top.right == null || top.right == prev) {
System.out.print(top.val + " ");
stack.pop();
prev = top;
} else {
cur = top.right;
}
}
} 堆（优先级队列）：
堆的概念：
我们可以将数组想成一个二叉树，堆的逻辑结构是一颗完全二叉树，物理结构是一个数组。我们可以得出左右孩子和父节点的数学关系。
建立堆，可以分为两种，一种建立小堆，一种建立大堆。我们利用向下调整算法来建立堆。
向下调整算法：
我们可以将数组想象成二叉树，但是向下调整算法必须保证左右树必须已经建好堆，所以我们从数组的最后开始建堆，也就是从最后一颗子树开始，根据公式，最后一棵树的位置(下标)就是(n - 1 - 1) / 2，之后逐个向下调整并建好堆。接下来给出该算法：
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int usedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
public void initElem(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
}
public void createHeap() {
for (int parent = (usedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
AdjustDown(parent, usedSize);
}
}
private void AdjustDown(int parent, int len) {
int child = parent * 2 + 1;
//建大堆
while (child < len) {
if (elem[child] < elem[child + 1] && child + 1 < len) {
child++;
}
if (elem[parent] < elem[child]) {
//交换
swap(parent, child);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else {
break;
}
}
}
private void swap(int a, int b) {
int tmp = elem[a];
elem[a] = elem[b];
elem[b] = tmp;
}
}优先级队列（PriorityQueue）：
其实就是堆，但是我们还是要先了解一下什么是优先级队列。
优先级队列，有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列。此时一般的队列显然不合适。比如玩手机时，有人打来电话，系统就应该优先处理打来的电话。
这种数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象。这就被称为优先级队列，优先级队列底层是一个完全二叉树。
这里优先级队列底层是使用数组实现的，操作规则是使用队列来完成的。
不能插入null对象，可以插入任意多个元素，内部可以实现自动扩容。
当我们进行删除优先级队列元素时，需要从队列头部开始删除，如果从尾部开始删除，则相当于向上建堆，向上调整建堆时间复杂度会很大，所以我们进行头删。
public static void main(String[] args) {
PriorityQueue priorityQueue = new PriorityQueue<>();
//堆
priorityQueue.offer(10);
priorityQueue.offer(5);
priorityQueue.offer(6);
System.out.println(priorityQueue.peek());
//当我们实例化一个 priorityQueue 之后，默认是一个小根堆
} 
此时队头元素为5，可以发现默认是小堆。 所以我们如何将其改为大堆呢？
构建大堆（Comparable接口）：
我们不能随意向其中插入数据，因为我们其实会进行比较。举个例子：
class Student {
public int age;
public String name;
public Student(int age, String name) {
this.age = age;
this.name = name;
}
@Override
public String toString() {
return "Student{" +
"age=" + age +
", name='" + name + '\'' +
'}';
}
}
public class Test2 {
public static void main(String[] args) {
PriorityQueue priorityQueue = new PriorityQueue<>();
priorityQueue.offer(new Student(22, "wowo"));
priorityQueue.offer(new Student(21, "wda"));
}
} 
此时报错，因为没有指定类型去建堆。 所以我们其实可以想到可能其中使用了Comparable接口。
所以可以发现当我们使用无参构造器时，默认优先队列的容量是11。而且可以发现其使用了比较器。
看一看出，里面重载了构造方法，所以我们可以传入比较器来完成效果。比如此时我们是一个小堆，第一个元素是10，之后插入5：
我们再观察Integer中的Comparable接口中的compareTo方法。 
也就是说，此时我们将返回值改变即可将小根堆改为大根堆。
public static void main(String[] args) {
Imp imp = new Imp();
PriorityQueue priorityQueue = new PriorityQueue<>(imp);
//使用自己的比较器
//堆
priorityQueue.offer(10);
priorityQueue.offer(5);
} class Imp implements Comparator {
@Override
public int compare(Integer o1, Integer o2) {
return o1.compareTo(o2);
}
} 所以我们可以通过自己实现的比较器来构建大根堆。
观察源码：
可以看到，当数组容量小于64时，每次增加2；当容量大于64时，每次扩容1.5倍。