5.查找最小的k个元素[Kmin]

【题目】

输入n个整数，输出其中最小的k个。

例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。

【分析】

这道题最简单的思路莫过于把输入的n个整数排序，这样排在最前面的k个数就是最小的k个数。只是这种思路的时间复杂度为O(nlogn)。我们试着寻找更快的解决思路。

我们可以先创建一个大小为k的数据容器来存储最小的k个数字。接下来我们每次从输入的n个整数中读入一个数。如果容器中已有的数字少于k个，则直接把这次读入的整数放入容器之中；如果容器中已有k个数字了，也就是容器已满，此时我们不能再插入新的数字而只能替换已有的数字。我们找出这已有的k个数中最大值，然和拿这次待插入的整数和这个最大值进行比较。如果待插入的值比当前已有的最大值小，则用这个数替换替换当前已有的最大值；如果带插入的值比当前已有的最大值还要大，那么这个数不可能是最小的k个整数之一，因为我们容器内已经有k个数字比它小了，于是我们可以抛弃这个整数。

因此当容器满了之后，我们要做三件事情：一是在k个整数中找到最大数，二是有可能在这个容器中删除最大数，三是可能要插入一个新的数字，并保证k个整数依然是排序的。如果我们用一个二叉树来实现这个数据容器，那么我们能在O(logk)时间内实现这三步操作。因此对于n个输入数字而言，总的时间效率就是O(nlogk)。

我们可以选择用不同的二叉树来实现这个数据容器。由于我们每次都需要找到k个整数中的最大数字，我们很容易想到用最大堆。在最大堆中，根结点的值总是大于它的子树中任意结点的值。于是我们每次可以在O(1)得到已有的k个数字中的最大值，但需要O(logk)时间完成删除以及插入操作。

我们自己从头实现一个最大堆需要一定的代码。我们还可以采用红黑树来实现我们的容器。红黑树通过把结点分为红、黑两种颜色并根据一些规则确保树是平衡的，从而保证在红黑树中查找、删除和插入操作都只需要O(logk)。在STL中set和multiset都是基于红黑树实现的。如果面试官不反对我们用STL中的数据容器，我们就直接拿过来用吧。下面是基于STL中的multiset的参考代码：

时间复杂度：

数组存储K个元素：K+(N-K)*(K+1) =O(nk)

堆存储K个元素：K+(N-K)*(2*lgK+1)=O(nlgk)

【代码】

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

typedef  multiset< int , greater< int > >  IntHeap; /////////////////////////////////////////////////////////////////////// // find k least numbers in a vector /////////////////////////////////////////////////////////////////////// void  FindKLeastNumbers (      const  vector< int > &data,                // a vector of data     IntHeap &leastNumbers,                  // k least numbers, output      unsigned   int  k ) {     leastNumbers.clear();      if (k ==  0  || data.size() < k)          return ;     vector< int >::const_iterator iter = data.begin();      for (; iter != data.end(); ++ iter)     {          // if less than k numbers was inserted into leastNumbers          if ((leastNumbers.size()) < k)             leastNumbers.insert(*iter);          // leastNumbers contains k numbers and it's full now          else         {              // first number in leastNumbers is the greatest one             IntHeap::iterator iterMax = leastNumbers.begin();              // if is less than the previous greatest number              if (*iter < *iterMax)             {                  // replace the previous greatest number                 leastNumbers.erase(*iterMax);                 leastNumbers.insert(*iter);             }         }     } }

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420072432136859/

http://blog.csdn.net/liangbopirates/article/details/9377105

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6370650