由1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……推出公式

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引入

在一个数列$1$，$2$，$2$，$3$，$3$，$3$，$4$，$4$，$4$，$4$，$5$，$5$，$5$，$5$，$5$……中，请问第$n$项是数字几呢？

推导过程

给数列标个号：

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$
$m_n$	$1$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$4$	$4$	$4$	$4$	$5$	$5$	$5$	$5$	$5$	$6$

然后提取一些特殊的数据：当数字$1$第一次出现时序号为$1$；$2$第一次出现时序号为$2$；$3$第一次出现时序号为$4$……

$n$	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$
$m_n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

然后再修改一下这个表（我们一步一步来）：

$n$	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$
$n-1$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$
$m_n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$n$	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$
$n-1$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$
$m_n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

$n$	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$
$n-1$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$
$2(n-1)$	$0$	$2$	$6$	$12$	$20$	$30$
$m_n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

此时，将$2(n-1)$拆分为$x\times y$，其中$x=y-1$且$x\in {\mathbb{Z}}_{+},y\in {\mathbb{Z}}_{+}$。

$n$	$1$	$2$	$4$	$7$	$11$	$16$
$n-1$	$0$	$1$	$3$	$6$	$10$	$15$
$2(n-1)$	$0$	$2$	$6$	$12$	$20$	$30$
$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$m_n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$

发现了吗？这里$y=m_n$或$x+1=m_n$就是我们找到的规律！！！
接下来可以列出式子：

$$\{\begin{array}{rl}& x=y-1\\ & xy=2\times (n-1)\\ & y=m_n\end{array}$$
化简可得：
$$m_n^2-m_n-2n+2=0$$
用二次方程求根公式解：
$$m_n=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\times 1\times (2-2n)}}{2\times 1}=\frac{1\pm \sqrt{8n-7}}{2}$$
所以解出两个解：
$$m_{n_1}=\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2},m_{n_2}=\frac{1-\sqrt{8n-7}}{2}$$
舍去负根，即可得到m与n的关系：
$$m_n=\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}$$

再列一张表验证一下：

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
$m_n$	$1$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$	$4$	$4$	$4$	$4$	$5$
$\frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}$	$1$	$2$	$2.561$	$3$	$3.372$	$3.701$	$4$	$4.274$	$4.531$	$4.772$	$5$

然后我们发现，由公式得出的结果有些过分精准了，其实我们只需要取结果的整数部分就行。

所以，再套一个取整：
$$m_n=\lfloor \frac{1+\sqrt{8n-7}}{2}\rfloor$$
至此，大功告成。

题目

有一些信息题用到了这个公式，如：
洛谷 P2669 [NOIP2015 普及组] 金币

代码

C++

int m(int n){
	return (1 + sqrt(8 * n - 7)) / 2;
}

Python

m = lambda n:int((1 + math.sqrt(8 * n - 7)) / 2)

总结

今天就分享到这里啦，希望您有所收获。
创作不易，记得一键三连哦！