高中奥数 2021-11-12

2021-11-12-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P111 例5）

设,, ,是圆内接正边形,是圆周上的任一点,求证:是常数.

证明

设圆心在原点,圆的半径为.

显然可令,,于是

$\begin{aligned} & \left|P P_{k}\right|^{4}=\left|P-P_{k}\right|^{4}=\left|r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{2 k \pi}{n}}\right|^{4} \\ & =r^{4}\left[\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{2k \pi}{n}}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \cdot \dfrac{2k \pi}{n}}\right)\right]^{2}\left(\text { 这里用到 }|z|^{2}=z \cdot \bar{z}\right) \\ & =r^{4}\left[2-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \cdot \dfrac{2 k \pi}{n}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{2 k\pi}{n}}\right]^{2} \\ & =r^{4}\left[6+\mathrm{e}^{2 \mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \cdot \dfrac{4 k \pi}{n}}+\mathrm{e}^{-2 \mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{4k \pi}{n}}-4 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \cdot \dfrac{2 k\pi}{n}}-4 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{2 k\pi}{n}}\right]. \end{aligned}$

但是

$\sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{4 k \pi}{n}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{4 \pi}{n}}\left(1-\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{4 n \pi}{n}}\right)}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i} \cdot \dfrac{4 \pi}{n}}}=0$ ,

$\sum\limits_{k=1}^{n} \mathrm{e}^{\pm \dfrac{2 k \pi}{n}}=\dfrac{\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{2 \pi}{n}}\left(1-\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{2 n \pi}{n}}\right)}{1-\mathrm{e}^{\pm \mathrm{i} \cdot \dfrac{2 \pi}{n}}}=0$ .

所以.

它与点无关,即它是一常数.

2021-11-12-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P111 例6）

设是锐角三角形内一点,、、分别交边、、于点、、,已知.求证:是的重心.(2007西部数学奥林匹克)

证明

本题的结论对为一般的三角形都成立.

我们采用复数方法予以证明.

设为复平面上的原点,并直接用表示点对应的复数,则存在正实数,,,使得,且.

由于为与的交点,可解得,同样地,,.

利用可知,于是

化简得:.

这时,若,,因此,这要求在的外接圆上,与,在内矛盾,所以,进而,得.

即为的重心.

命题获证.

向量法

2021-11-12-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P112 例7）

已知圆内接四边形的两条对角线的交点为,在边、上的投影分别为点、.证明:的中垂线平分线段和.

证明

设的中点为,则.

图1

由于,,所以,

即.

类似地,可得.

由于,,

所以.

于是.

又,易得.

故

$\begin{aligned} &\left(\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SF}\right)^{2}-\left(\overrightarrow{SM}-\overrightarrow{SE}\right)^{2}\\ =&2\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{SE}-2\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}\cdot \overrightarrow{SE}+ \overrightarrow{SF}\cdot \overrightarrow{SF}\\ =&\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}\right)\cdot \overrightarrow{SE}-\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SD}\right)\cdot \overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}\cdot \overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}\cdot \overrightarrow{SF}\\ =&\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SE}-\overrightarrow{SE}\cdot \overrightarrow{SE}-\left(\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SF}\cdot \overrightarrow{SF}\right)-\left(\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SD}\cdot \overrightarrow{SE}\right)\\ =&0. \end{aligned}$

这就表明的中点在的中垂线上.

同理,的中点也在的中垂线上.

故的中垂线平分线段和.

2021-11-11-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文平面几何中的其他方法和问题选讲 P112 例8）

如图,凸四边形中,、的延长线交于,、的延长线交于.、、依次为、、的中点.求证:、、三点共线.

图2

证明

设,,,,,.

有.

又,

则有

解得

又因为,

所以,

故.

有,即、、三点共线.

高中奥数 2021-11-12

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