洛谷 P1182 数列分段 Section II （(Java)

洛谷 P1182 数列分段 Section II （(Java)

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题目：数列分段 Section II

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列 $A_{1\sim N}$，现要将其分成 $M$（$M\le N$）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 $42451$ 要分成 $3$ 段。

将其如下分段：

$$[42][45][1]$$

第一段和为 $6$，第 $2$ 段和为 $9$，第 $3$ 段和为 $1$，和最大值为 $9$。

将其如下分段：

$$[4][24][51]$$

第一段和为 $4$，第 $2$ 段和为 $6$，第 $3$ 段和为 $6$，和最大值为 $6$。

并且无论如何分段，最大值不会小于 $6$。

所以可以得到要将数列 $42451$ 要分成 $3$ 段，每段和的最大值最小为 $6$。

输入格式

第 $1$ 行包含两个正整数 $N,M$。

第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的非负整数 $A_i$，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

样例 #1

样例输入 #1

5 3
4 2 4 5 1

样例输出 #1

6

提示

对于 $20\%$ 的数据，$N\le 10$。

对于 $40\%$ 的数据，$N\le 1000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^5$，$M\le N$，$A_i<10^8$， 答案不超过 $10^9$。

分析：

题目考察二分搜索，用于找到使得每段和的最大值最小的分段方案中的最小可能值。

具体实现如下：

首先读取输入，包括 n（数列长度）和 m（要分成的段数），以及 n 个数组元素。

初始化左右边界，边界最小为数组中的最大元素，最大为数组元素总和。

使用循环进行二分查找，在每次循环中，计算当前的中间值mid，然后遍历整个数组，累计每一段的和。

如果累计和大于mid，则将累计值等于 a[i]，并将切割次数加1。
如果累计值等于mid（即刚好满足一段并且不是最后一段），则将累计值归零，并将切割次数加1。

如果切割次数大于m-1（因为切割次数比总段数少1），则说明当前的mid值太小，需要增加mid，因此更新左边界l为mid+1。
如果切割次数小于等于m-1，则说明当前的mid值足够大，但不一定是最小的满足条件的值，因此更新右边界r为mid-1，并更新答案ans为当前的mid值。

最后输出答案ans，即每段和的最大值最小为多少。

这个算法时间复杂度为O(n logm)，其中n为数列长度，m为要分成的段数。

代码：

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {  
    	Scanner sc = new Scanner(System.in);
    	int n = sc.nextInt();int m = sc.nextInt();
    	int [] a = new int [n+10];
    	// l为左边界，r为右边界
    	int l = 0;int r = (int)1e9;
    	long ans = 0; // 输出答案
    	
    	for(int i = 0;i < n;i++) {
    		a[i] = sc.nextInt();
    		ans += a[i];
    		// 边界最小为数组最大的元素
    		l = Math.max(l, a[i]);
    	}
    	// 边界最大为数组元素之和
    	ans = r = (int) Math.min(r, ans);
    	
    	while(l <= r) {
//    		System.out.printf("l r:%d %d\n",l,r);
    		int mid = (l+r)/2;
    		int t = 0; // 每段的累加值
    		int cnt = 0;//切割的次数
    		for(int i = 0;i < n;i++) {
    			t += a[i];
    			if(t > mid) {
    				t = a[i];cnt++;
    			}else if(t==mid&&i<n-1) {
    				t = 0;cnt++;
    			}
    		}
    		// 切割的次数太多，需要增加切割长度mid
    		if(cnt > m-1) {
    			l = mid + 1;
    		}else {// 可能存在更少的切割长度mid，并更新答案ans
    			r = mid -1;ans = mid;
    		}
//    		System.out.printf("cnt mid ans:%d %d %d\n",cnt,mid,ans);
    	}
    	System.out.println(ans);
    }
}