开刷：《信号与系统》 Lec #18 连续时间信号的离散化处理

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.343 - p.350

这一节课的内容稍微抽象一点，不过看了视频两遍之后也就差不多明白老师在说什么了。。

简而言之就是时域中时间轴的归一化和频域中频率轴的归一化。

一个带限连续时间信号被采样后，是个冲激串函数，分别位于时间轴上的位置，为采样周期，为整数。依然是一个连续时间函数，如何把转换成离散时间序列(sequence)呢？同样的问题，离散时间序列在离散时间系统处理后依然是一个离散时间序列，如何由离散时间序列转换为连续时间信号呢？

1. 连续时间信号的离散化处理

为了进一步说明连续时间信号和它的离散时间表示之间的关系，可以把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟一个把冲激串映射为一个序列的环节，如下图所示。

连续时间信号转换为离散时间信号

从上图中可以看出，在位置处采样的信号，映射进离散时间就在位置，同样，在位置处采样的信号，映射进离散时间就在位置。以此类推，连续时间冲激串映射进离散时间，就是时间轴除以采样周期。

那频域中如何变化呢？如下图所示，

连续时间信号和离散时间信号频谱比较

从图中可以看出，冲激串采样信号的频谱是原始信号的频谱在位置的移位复制（当然频谱幅值有的变化），复制在位置的频谱，当映射进离散时间后，位置变为了，复制在的部分，位置变为了。以此类推，连续时间冲激串映射进离散时间，从频域看，就是频率轴乘以采样周期。这与时域与频域尺度变换的对偶性的直觉是一样的。

现在来看数学推导，这里我们用表示连续时间下的频率，用表示离散时间下的频率。

在离散时间下，有

所以，有

我们在笔记Lec#16学习采样时，知道采样后的冲激串信号的频谱表示为，

所以得到，

数学推导看看就行了，重要的是形成一个直觉，从连续时间映射到离散时间时所发生的时间轴和频率轴的scaling。

现在来看下面图中这个系统，

用离散时间滤波器处理连续时间信号

上图中系统各部分频谱

图(a)为原始信号频谱，图(b)为采样后冲激串的频谱，频谱发生位置在，图(c)为映射进离散时间后的频谱，发生位置在。图(d)中画了两个频谱，除了的频谱之外，是离散时间滤波器的频谱，这个滤波器的截止频率为，那么经过这个滤波器之后的频谱就应该是图(d)中两个频谱的乘积，紧接着映射回连续时间，离散时间滤波器的截止频率被scale为，如图(e)所示。最后经过连续时间滤波器，频谱如图(f)所示。

上图说明，一个离散时间滤波器在处理连续时间信号时，其截止频率会与连续时间信号的采样频率有关，换句话讲，离散时间滤波器在处理连续时间信号时，可以等效为一个连续时间滤波器，等效截止频率为。

这篇笔记的分析前提是，被处理的连续时间信号具有有限带宽，且采样过程不发生混叠。

//2020.11.20更新：进行如下计算，解决一下评论里@Lenv12138 提到的问题

通过下面计算可以看出，由C/D后离散序列的频谱计算傅里叶逆变换，求得的离散时间序列具有和原始连续时间信号相同的幅值。

由C/D后的频谱计算傅里叶逆变换