2020-05-09 1.电磁场的量子化

1.1 场的量子化

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自由电磁场的 Maxwell 方程组:

                                                   

其中 ， 是真空磁导率 (magnetic permeability) 和电导率 (electric permeability)，并且有 ， 为真空中的光速。

自由电磁场（无源场）的 Maxwell 方程是规范不变的。这里选取 Coulomb 规范。 在 Coulomb 规范下， 和  可以由矢势 (vector potential)  决定：

                                                         

并且满足规范条件

                                                            

将电场强度和磁感应强度的表达式代入 Maxwell 方程组中，可以发现矢势  满足波动方程：

                                              

我们将矢势分成两个复数项，包含所有按  形式变化的振幅，  包含所有按  形式变化的振幅：

                                          

其中频率 ，.

对振幅做傅里叶展开 (Fourier expand):

                                           

自由场的展开系数  为常数。频率 对应的矢量模函数 (vector mode functions) 需要满足方程

                                                 

模函数还需要满足横向条件 (电磁波为横波)：

                                                        

这些模函数形成一个完全正交集，因此需要满足正交条件：

                                               

模函数的形式依赖于边界条件。比如说，周期边界条件对应行波模式 (travelling wave modes)，反射墙 (reflecting walls) 导致驻波 (standing waves)。平面波模函数由边长为 的立方体体积决定：

                                        

其中  为单位极化矢量，波矢  的三个空间分量分别是

                                    

由横向条件，极化矢量 要和波矢 垂直。

将傅里叶展开系数  替换为产生湮灭算子，就实现了电磁场的量子化：

                            

对应的电场为

                             

规一化因子 (The normalization factors) 是为了消除产生湮灭算子的量纲，且使对应的哈密顿量与物理事实符合。说明如下。

光子为玻色子，因此产生湮灭算符满足对易关系：

                                      

电磁场的哈密顿量为

                                             

将量子化的结果代入上式可以得到一个简洁的表达式：

                                              

下一节将会看到， 为粒子数算符，也就是说，这个表达式的物理意义是说，每个光子的能量为  。这和光电效应揭示的物理事实相符。 表示每个模式下能量的真空涨落，或者说零点能。

接下来将会介绍电磁场的三种可能的表示，分别是 Fock 态（粒子数态, Fock or Number states），相干态 (coherent states) 和压缩态 (Squeezed states).