【算法】约瑟夫环原理及其公式

问题描述

将n个人围成一个圈，从1开始依次数数，数到k或者k的倍数时，这个人出局，如此循环直到环中只剩一个人的时候这个人获胜

算法原理

参考文章最浅显易懂的约瑟夫环讲解_秃头哥编程-CSDN博客_约瑟夫环讲解

可以把这个圈想想成一条直线，假设一开始有11人，k=3

将这11个人从1到11进行编号

从1开始报数，此时的人数是11

第一个被淘汰出局的是3

 注意，这里淘汰到三继续往后数的话，就相当于4是第一个人，再从1开始计数，此时的人数为10

可以看出11个人从1开始报数，可以等效为10个人从4开始报数，不过少一个3号，但是我们找的是对应的下标，而不是具体的人，所以并没有什么影响 

数次循环往复，相当于每淘汰一个人，数组整体向前移动k位（此处k=3，所以是移动三位），因为是整体移动，说明最后获胜的人也是向前移动k位，当已知11个人k=3时最终获胜的人的标号为6（数组中的下标为5）时，易推出10个人k=3时最终获胜的人为(6-3)%10（当前的人数）

可以推出，每增加一个人后，数组整体向后移动k位，这样n就可以从1开始通过递归推出

每当淘汰一个人，数组整体向前移动k位

每当增加一个人，数组整体向后移动k位

公式为

f(n,k)=(f(n-1,k)+k)%n        求出的是下标位置，而不是这个人的编号，如果是编号的话还需要加1

                                        （下标是从0开始的，编号是从1开始的）

当n=1时，代表只有一个人，获胜者就是这个人，他的编号是1，但是下标位置为0

当n=2时，f(1,k)=0,f(2,k)=k%n；

...

依次类推即可求出f(n,k);

最后结果要+1，因为求出来的结果是下标位置，而不是这个人的编号

核心代码实现

int cir(int n,int k)
{
	int p=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)    //因为i==1开始的时候就是p=0，所以直接让p=0，跳过第一个
	{
		p=(p+k)%i;
	}
	return p+1;        //返回的是下标位置，+1才是人的编号
}

例题

LeetCode：【剑指 Offer】 62. 圆圈中最后剩下的数字