随想录Day24--回溯算法第一战77. 组合

回溯是比递归更让人头疼的事件，因为在递归的过程中还需要值的处理。

在卡尔的视频中给出了回溯的模板，也就是

对应的关键在于回溯撤销处理结果。这道题的坑在于你要去感受值的添加和删除，以及怎么去变化得。画图头脑风暴感觉有点不够用了，但是模拟一遍可以更加体会到回溯的精髓。有一个需要注意的点在于回溯过程中， backtracking(n, k, i + 1);第三个参数的i+1，我一开始用的index+1，index是上层传过来的数，是个固定值，导致每次循环都要从2开始。这点细节要注意，应该是从i开始，保证了每次都是从后面那个数开始，也就是组合的形式不重复。回溯的关键在参数这里，如果是从1开始，那就相当于排列了。

77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2

输出：

[

[2,4],

[3,4],

[2,3],

[1,2],

[1,3],

[1,4],

]

示例 2：

输入：n = 1, k = 1

输出：[[1]]

提示：

• 1 <= n <= 20

• 1 <= k <= n

class Solution {
    List path = new ArrayList<>();
    List> res = new ArrayList<>();
    public List> combine(int n, int k) {

        backtracking(n, k, 1);
        return res;

    }
    public void backtracking(int n, int k, int index){
        if(path.size() == k){
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = index; i <= n - k + path.size() + 1; i++){
            path.add(i);
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.remove(path.size() - 1);
        }
    }
}

组合问题的优化是剪枝，如果可以剪枝，就能使时间复杂度减少一些。

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for(int i = startIndex; i <= n; i++){
    path.push_back(i);backtracking(n, k, i +1);
    path.pop_back();}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for(int i = startIndex; i <= n; i++){

接下来看一下优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();

2. 所需需要的元素个数为: k - path.size();

3. 列表中剩余元素（n-i） >= 所需需要的元素个数（k - path.size()）

4. 在集合n中至多要从该起始位置 : i <= n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for(int i = startIndex; i <= n -(k - path.size())+1; i++)// i为本次搜索的起始位置

组合问题的求解

那么我把组合问题抽象为如下树形结构：

可以看出这棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不再重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。