DAY43：背包问题提升1049、494、474

Leetcode: 1049 最后一块石头的重量 II

这道题和昨天的最后一道题很像，都是重量和价值一样等于stone[i]。

本质思想是尽量将石头分成相似的两堆。如果出现两堆价值一样，那==0，如果不一样，就用大的那堆减去小的那堆就是最后相撞之后的重量。从而把题目化简为01背包问题。

时间复杂度：O(m × n)

空间复杂度：O(m)

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector& stones) {
        int result = 0;//需要初始化，没有初始化为0会报错
        for(int i = 0; i < stones.size(); i++){
            result += stones[i];
        }

        int target = result / 2;//分为两堆石块的目标
        vector dp(target + 1, 0);//确定dp数组的大小
        for(int i = 0; i < stones.size(); i++){
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--){//背包问题
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        return result - dp[target] - dp[target];//因为tatget = result/2向下取整，这样result-dp[target]肯定比dp[target]大

    }
};

Leetcode: 494 目标和

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x，我们要求的是 x - (sum - x) = target，所以x = (target + sum) / 2。此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。这里注意/是向下取整，所以如果出现（target+sum）是奇数，是没有解的。

1、下标和定义

dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法。

2、递推公式

只要搞到nums[i]，凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。所以需要将所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。

3、初始化

初始化dp[0]=1这个很重要，如果初始化为0，就会出错因为所有的结果都是由0导出的，所以需要初始化为1，保证有一个方案

时间复杂度：O(m × n)

空间复杂度：O(m)

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            sum += nums[i];
        }
        if(sum < abs(target)) return 0;//如果目标比总和大，肯定无法达到
        if((sum + target) % 2 == 1) return 0;//如果出现奇数，就有非整数

        int result = (sum + target) / 2;
        vector dp(result + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){//注意从0的情况开始
            for(int j = result; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[result];
    }
};

在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：

dp[j] += dp[j - nums[i]];

Leetcode: 474 一和零

这道题主要是题目看不懂，思路也很难想。

参考

代码随想录

1、确定下标含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2、递归公式

相当于这里是一个有两个维度的01背包问题。

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

3、递归逻辑

01背包一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

时间复杂度为O(KMN)

空间复杂度为O(MN）

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector& strs, int m, int n) {
        vector> dp(m + 1, vector (n + 1, 0)); // 默认初始化0
        for (string str : strs) { // 遍历物品
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历！
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};