Delaunay三角剖分与Voronoi图生成

介绍

Delaunay三角剖分

Delaunay三角剖分是一种用于二维和三维空间的特殊类型的三角剖分。给定一组在平面上的点，Delaunay三角剖分将这些点连接成三角形，使得在所有可能的三角形中，这些三角形的最小角最大，外接圆最小。

Bowyer-Watson算法生成三角形，分为以下步骤操作：

1. 创建一个超级三角形，包含所有的点。
2. 依次添加点到三角剖分中，对于每个添加的点：
   • 找到包含此点的三角形。
   • 删除此三角形，并创建三个新的三角形，新的三角形由旧的三角形的每条边和新添加的点组成。
3. 修复Delaunay条件。新加入的点可能会导致Delaunay条件不成立。如果任何三角形的外接圆包含另一个三角形的一个或多个顶点，则将这两个三角形替换为两个新的三角形。
4. 删除与超级三角形共享边的所有三角形。

详细了解可参考：Delaunay三角剖分

Voronoi图

Voronoi图是对平面的一种划分，其中每个点的区域包含所有距离该点最近的平面区域。

要在Python中手动实plement它，你可以按照以下步骤操作：

1. 先构建Delaunay三角剖分。
2. 对于每个Delaunay三角形，找到其外接圆的圆心，这些圆心就是Voronoi图的顶点。
3. 对于每对相邻的Delaunay三角形，将它们的外接圆的圆心连接起来，这些连接线就是Voronoi图的边。

代码实现

由于Delaunay三角剖分和Voronoi图的生成是复杂的算法，需要大量的代码才能实现，并且通常需要使用一些现有的库（如SciPy或Matplotlib）以确保效率和准确性。这里给出简略实现代码：

Delaunay三角剖分实现

首先，定义一个函数来计算两点之间的距离：

def distance(a, b):
    return ((a[0] - b[0])**2 + (a[1] - b[1])**2)**0.5

然后，定义一个函数来判断一个点是否在一个三角形的外接圆内：

def in_circumcircle(a, b, c, d):
    ax, ay = a
    bx, by = b
    cx, cy = c
    dx, dy = d
    return (ax - dx)**2 + (ay - dy)**2 < (bx - dx)**2 + (by - dy)**2 < (cx - dx)**2 + (cy - dy)**2

接着，实现Bowyer-Watson算法来生成Delaunay三角剖分：

def delaunay(points):
    super_triangle = [(0, 0), (500, 0), (0, 500)]  # Assumes all points are inside this triangle
    triangles = [super_triangle]  # Start with one triangle that contains all points
    for p in points:
        bad_triangles = []
        for t in triangles:
            if in_circumcircle(t[0], t[1], t[2], p):
                bad_triangles.append(t)
        polygon = []  # Will contain the edges of the polygonal hole
        for t in bad_triangles:
            for i in range(3):
                edge = (t[i], t[(i+1)%3])
                if all((edge[1], edge[0]) not in t2 for t2 in bad_triangles if t2 != t):
                    polygon.append(edge)
        triangles = [t for t in triangles if t not in bad_triangles]  # Remove bad triangles
        for edge in polygon:
            triangles.append([edge[0], edge[1], p])  # Retriangulate the polygonal hole
    triangles = [t for t in triangles if not any(v in super_triangle for v in t)]  # Remove super triangle
    return triangles

Voronoi图实现

根据Voronoi图的定义，一个Voronoi图是由一组点的Delaunay三角剖分的外接圆的中心点（即圆心）构成的。所以，首先我们需要一个函数来计算一个三角形的外接圆的中心：

def circumcenter(a, b, c):
    ax, ay = a
    bx, by = b
    cx, cy = c
    d = 2 * (ax * (by - cy) + bx * (cy - ay) + cx * (ay - by))
    ux = ((ax * ax + ay * ay) * (by - cy) + (bx * bx + by * by) * (cy - ay) + (cx * cx + cy * cy) * (ay - by)) / d
    uy = ((ax * ax + ay * ay) * (cx - bx) + (bx * bx + by * by) * (ax - cx) + (cx * cx + cy * cy) * (bx - ax)) / d
    return (ux, uy)

然后，我们可以使用上面的Delaunay三角剖分算法，为每个生成的三角形计算外接圆的中心，这些中心点就是Voronoi图的顶点：

def voronoi(points):
    triangles = delaunay(points)  # Generate Delaunay triangulation
    voronoi_points = [circumcenter(t[0], t[1], t[2]) for t in triangles]
    return voronoi_points

这个voronoi函数返回的是Voronoi图的顶点，但是Voronoi图还包括边。为了生成边，我们需要找到每对相邻的Voronoi顶点，也就是那些共享一个Delaunay三角形边的顶点。这需要更多的代码，建议直接使用第三方库实现，如SciPy或CGAL。