面试经典150题——旋转图像

"You are never too old to set another goal or to dream a new dream." - C.S. Lewis​

1. 题目描述

2.  题目分析与解析

2.1 思路一

还是最简单的尝试模拟人的思维，如果对于一个普通人解决该题目，那就是先把第一行放在最后一列 或者 把第一列倒序放在第一行，接着第二行放在倒数第二列 或者 把第二列逆序放在第二行，以此类推。

但是这样解决是有一个棘手的问题，因为题目提醒我们”原地旋转，直接修改输入的二维矩阵，请不要 使用另一个矩阵来旋转图像”。如果按照我们上述的解法，把某一行或者某一列放在另外某一行或者某一列，那么被填充的部分数据就被覆盖，在后续使用时就无法获取到，所以这种方法是不可行的。

但是我们再来观察一下矩阵：

如果将它转置会得到下图：

而我们需要的是下图：

有没有发现点什么？是不是把矩阵一转置在经过一些列次序变换就能得到结果了？（其实我开始也没想到转置，确实对于矩阵还不够敏感）

所以有了上述思路后，代码思路就比较简单了。

代码思路：

1. 将矩阵先进行转置

   • 转置其实就是按照主轴反转如下：

   • 

   • 这个转置过程只需要遍历矩阵的一半元素，将遍历到的每一个元素与它需要对应的元素做一次交换就可以了。

1. 把第一列移动到最后一列，第二列移动到倒数第二列，其实也就是每一行逆序，就可以得到答案。

3. 代码实现

4. 相关复杂度分析

为了分析这段代码的时间和空间复杂度，我们需要考虑每一步操作对输入矩阵的影响。这段代码实现了一个矩阵的顺时针旋转90度的操作，分为两个主要步骤：矩阵的转置和水平翻转（或列的交换）。输入矩阵为 n x n（因为旋转操作通常在正方形矩阵上进行）。

第1步：矩阵转置

在矩阵转置步骤中，我们遍历了矩阵的上半部分（不包括对角线），对于每一个元素 matrix[i][j]，我们将其和 matrix[j][i] 交换。这个操作只涉及到读取和写入矩阵元素，没有使用额外的存储空间（除了用于交换的临时变量 temp）。

• 时间复杂度： 对于一个 n x n 的矩阵，这一步的时间复杂度是 O(n^2)。尽管我们只遍历了矩阵的一半，但遍历的总元素数量仍然与矩阵的总元素数量成正比（大约是 n^2 / 2），这意味着时间复杂度保持为 O(n^2)。

• 空间复杂度： 由于我们只使用了固定数量的变量（temp），这一步的空间复杂度是 O(1)。

第2步：水平翻转（或列的交换）

在这一步中，代码提供了两种方法来实现旋转的第二部分。不过，这两种方法的复杂度是相同的。

• 水平翻转：我们遍历矩阵的每一行，将每一行的元素按列进行逆序交换。

• 列的交换：我们遍历矩阵的一半列，将每一列的元素与对应的对面列的元素进行交换。

无论采用哪种方法，操作的总次数都与矩阵中元素的总数成正比。

• 时间复杂度： 对于一个 n x n 的矩阵，这一步的时间复杂度也是 O(n^2)。我们需要对每个元素进行操作，尽管是分行或分列操作，总的操作次数仍然与 n^2 成正比。

• 空间复杂度： 同样，由于我们只使用了固定数量的变量（temp），这一步的空间复杂度是 O(1)。

总结

• 总时间复杂度： O(n^2)。这是因为我们需要对矩阵中的每个元素至少进行一次操作。

• 总空间复杂度： O(1)。除了输入矩阵之外，我们只使用了常数空间（临时变量）来执行所有操作。

5. 原地旋转（补充）

以下内容引自力扣官方题解（侵权请告知，立删除）

（个人感觉这种方法很巧妙，虽然开始也想到了但是当时被难在移动哪些元素上，看来还是要多动手把发现的规律写一写，尝试把规律变换成数学语言才能进行编程）看解析之前先看一下下面两个图片：

这种思路的困难之处就是用数学语言写出移动规律（毕竟计算机不能懂规律只能靠数学告诉它规律），以及需要移动哪些元素，由于官方确实讲的比较清晰因此直接截图了：

注释：在下面方法中提到的关键等式

还是得多动手多换角度思考啊！学会用数学！