立体几何之目：2021年理数全国卷B题18

2021年理数全国卷B题18

如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，， 为 的中点，且 .

（1）求 ;

（2）求二面角 的正弦值.

2021年全国卷题18

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【解答第1问】

连接 . 并记 交点为

∵ 底面 ， 平面 ,

∴

又∵ ,

,

∴ 平面 .

又∵ 平面 ,

∴ .

∴ .

∵ 是矩形, ∴

又∵ ,

∴ ,

∴ ,

∴

∴

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【解答第2问】

以点 为原点，以 为 轴建立直角坐标系.

各点坐标如下：

,

,

,

,

,

,

, ,

结论：二面角 的正弦值为 .

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【提炼与提高】

在问题1中的解答中应用了转化策略，由线面垂直推出线线垂直，再推出线线垂直，再推出线面垂直，最后得出结论：两个三角形相似，从而求出线段 的长度。

问题2中，建立坐标系，用法向量的内积求两平面的夹角，是立体几何中的标准操作。此处推荐用向量的外积（叉乘）求法向量.