2021年理数全国卷B题18
如图,四棱锥 的底面是矩形, 底面 ,, 为 的中点,且 .
(1)求 ;
(2)求二面角 的正弦值.
2021年全国卷题18
【解答第1问】
连接 . 并记 交点为
∵ 底面 , 平面 ,
∴
又∵ ,
,
∴ 平面 .
又∵ 平面 ,
∴ .
∴ .
∵ 是矩形, ∴
又∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴
∴
【解答第2问】
以点 为原点,以 为 轴建立直角坐标系.
各点坐标如下:
,
,
,
,
,
,
, ,
结论:二面角 的正弦值为 .
【提炼与提高】
在问题1中的解答中应用了转化策略,由线面垂直推出线线垂直,再推出线线垂直,再推出线面垂直,最后得出结论:两个三角形相似,从而求出线段 的长度。
问题2中,建立坐标系,用法向量的内积求两平面的夹角,是立体几何中的标准操作。此处推荐用向量的外积(叉乘)求法向量.