算法沉淀——优先级队列(堆)（leetcode真题剖析）

优先队列（Priority Queue）是一种抽象数据类型，它类似于队列（Queue），但是每个元素都有一个关联的优先级。在优先队列中，元素按照优先级从高到低（或从低到高）排列，高优先级的元素先出队。这种数据结构可以用堆（Heap）来实现。

堆是一种二叉树结构，有两种主要类型：最大堆和最小堆。在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；而在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。对于优先队列来说，最大堆常常用于实现。

在堆中，根节点的元素具有最高（或最低）优先级，而且这一性质对于整个堆中的每个节点都成立。这确保了当我们从堆中移除元素时，总是移除具有最高（或最低）优先级的元素。

优先队列的常见操作包括：

• 插入（Insertion）：将元素插入队列中。
• 删除最大（或最小）元素：移除并返回队列中具有最高（或最低）优先级的元素。

堆的实现可以通过数组或链表等数据结构。在使用数组实现堆时，父节点和子节点之间的关系可以通过数组的索引关系来表示。在C++中，可以使用 std::priority_queue 来实现优先队列，它默认使用最大堆，也可以通过传递自定义比较函数来实现最小堆。

01.最后一块石头的重量

题目链接：https://leetcode.cn/problems/last-stone-weight/

有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出两块 最重的 石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头的重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例：

输入：[2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
先选出 7 和 8，得到 1，所以数组转换为 [2,4,1,1,1]，
再选出 2 和 4，得到 2，所以数组转换为 [2,1,1,1]，
接着是 2 和 1，得到 1，所以数组转换为 [1,1,1]，
最后选出 1 和 1，得到 0，最终数组转换为 [1]，这就是最后剩下那块石头的重量。 

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 1000

思路

我们可以每次拿出最大的两个相比较，有差值就将差值保留，相等就都粉碎，这样我们很容易想到使用堆去计算，因为这符合堆的特性，我们可以使用各语言库中的堆容器来计算。

1. 创建最大堆（Max Heap）： 通过 priority_queue 创建一个默认为最大堆的优先队列，将给定的石头数组中的元素加入最大堆中。
2. 迭代处理： 使用一个循环迭代处理，直到堆中剩余的元素个数小于等于1。
3. 从堆中取出两个最大的元素，执行碎石操作： 每次取出堆中的两个最大元素（即石头的重量最大的两块），执行碎石操作，计算碎石后的重量，将结果加回堆中。
4. 返回结果： 当循环结束时，堆中剩余的元素即为最后一块石头的重量，或者堆为空，返回相应的结果。

代码

class Solution {
public:
    int lastStoneWeight(vector<int>& stones) {
        priority_queue<int> heap;
        for(int x:stones) heap.push(x);

        while(heap.size()>1){
            int a=heap.top(); heap.pop();
            int b=heap.top(); heap.pop();
            if(a>b) heap.push(a-b);
        }

        return heap.size()?heap.top():0;
    }
};

02.数据流中的第 K 大元素

题目链接：https://leetcode.cn/problems/kth-largest-element-in-a-stream/

设计一个找到数据流中第 k 大元素的类（class）。注意是排序后的第 k 大元素，不是第 k 个不同的元素。

请实现 KthLargest 类：

• KthLargest(int k, int[] nums) 使用整数 k 和整数流 nums 初始化对象。
• int add(int val) 将 val 插入数据流 nums 后，返回当前数据流中第 k 大的元素。

示例：

输入：
["KthLargest", "add", "add", "add", "add", "add"]
[[3, [4, 5, 8, 2]], [3], [5], [10], [9], [4]]
输出：
[null, 4, 5, 5, 8, 8]

解释：
KthLargest kthLargest = new KthLargest(3, [4, 5, 8, 2]);
kthLargest.add(3);   // return 4
kthLargest.add(5);   // return 5
kthLargest.add(10);  // return 5
kthLargest.add(9);   // return 8
kthLargest.add(4);   // return 8

提示：

• 1 <= k <= 104
• 0 <= nums.length <= 104
• -104 <= nums[i] <= 104
• -104 <= val <= 104
• 最多调用 add 方法 104 次
• 题目数据保证，在查找第 k 大元素时，数组中至少有 k 个元素

思路

这里是典型的topk问题，找的是第k个大的数，所以我们使用一个k大的小堆就能很好的解决这个问题。

在构造函数中，将初始的元素加入最小堆中，并维护堆的大小为 K，保证堆中只有前 K 大的元素。

当有新元素加入时，将新元素加入最小堆中，然后检查堆的大小是否超过 K，如果超过则弹出堆顶元素。最终返回当前堆顶元素，即为第 K 大的元素。这样，通过不断地将新元素加入最小堆，并保持堆的大小为 K，可以在 add 操作后始终保持堆中的元素为前 K 大的元素，而堆顶元素即为第 K 大的元素。

代码

class KthLargest {
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> heap;
    int _k;
public:
    KthLargest(int k, vector<int>& nums) {
        _k=k;
        for(int& x:nums){
            heap.push(x);
            if(heap.size()>k) heap.pop();
        }
    }
    
    int add(int val) {
        heap.push(val);
        if(heap.size()>_k) heap.pop();
        return heap.top();
    }
};

/**
 * Your KthLargest object will be instantiated and called as such:
 * KthLargest* obj = new KthLargest(k, nums);
 * int param_1 = obj->add(val);
 */

03.前K个高频单词

题目链接：https://leetcode.cn/problems/top-k-frequent-words/

给定一个单词列表 words 和一个整数 k ，返回前 k 个出现次数最多的单词。

返回的答案应该按单词出现频率由高到低排序。如果不同的单词有相同出现频率， 按字典顺序 排序。

示例 1：

输入: words = ["i", "love", "leetcode", "i", "love", "coding"], k = 2
输出: ["i", "love"]
解析: "i" 和 "love" 为出现次数最多的两个单词，均为2次。
    注意，按字母顺序 "i" 在 "love" 之前。

示例 2：

输入: ["the", "day", "is", "sunny", "the", "the", "the", "sunny", "is", "is"], k = 4
输出: ["the", "is", "sunny", "day"]
解析: "the", "is", "sunny" 和 "day" 是出现次数最多的四个单词，
    出现次数依次为 4, 3, 2 和 1 次。

注意：

• 1 <= words.length <= 500
• 1 <= words[i] <= 10
• words[i] 由小写英文字母组成。
• k 的取值范围是 [1, **不同** words[i] 的数量]

**进阶：**尝试以 O(n log k) 时间复杂度和 O(n) 空间复杂度解决。

思路

很显然这里这是还是topk问题，还是使用堆来解决问题，但是这里有两个比较条件，所以我们要注意比较函数的实现，主逻辑是找出前k个出现次数最多的，所以整体我们建小堆，还有一个附属条件，次数相同时，字典序小的排在前面，所以在相同次数时，我们相对于字符串建大堆，将字母小的排在前面。

1. 哈希表统计频率： 使用 unordered_map 哈希表记录每个字符串出现的频率。
2. 优先队列： 使用一个自定义的比较函数对象 cmp 作为优先队列的比较规则。按照频率从大到小排序，若频率相同则按照字符串字典序从小到大排序。遍历哈希表，将每个键值对（字符串及其频率）加入最小堆，并保持堆的大小为 K，当堆的大小超过 K 时，弹出堆顶元素。
3. 结果处理： 从堆中依次取出前 K 高的字符串，存储到结果数组中。

最终，返回存储前 K 高字符串的结果数组 ret。这样通过哈希表统计频率，并使用优先队列来维护前 K 高的频率，实现了找出频率前 K 高的字符串。

代码

class Solution {
    struct cmp{
        bool operator()(const pair<string,int>& a,const pair<string,int>& b){
            if(a.second==b.second) return a.first<b.first;
            return a.second>b.second;
        }
    };
public:
    vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
        unordered_map<string,int> hash;
        for(string& s:words) hash[s]++;

        priority_queue<pair<string,int>,vector<pair<string,int>>,cmp> heap;

        for(const pair<string,int>& x:hash){
            heap.push(x);
            if(heap.size()>k) heap.pop();
        }

        vector<string> ret(k);
        for(int i=k-1;i>=0;--i){
            ret[i]=heap.top().first;
            heap.pop();
        }

        return ret;
    }
};

04.数据流的中位数

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-median-from-data-stream/

中位数是有序整数列表中的中间值。如果列表的大小是偶数，则没有中间值，中位数是两个中间值的平均值。

• 例如 arr = [2,3,4] 的中位数是 3 。
• 例如 arr = [2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5 。

实现 MedianFinder 类:

• MedianFinder() 初始化 MedianFinder 对象。
• void addNum(int num) 将数据流中的整数 num 添加到数据结构中。
• double findMedian() 返回到目前为止所有元素的中位数。与实际答案相差 10-5 以内的答案将被接受。

示例 1：

输入
["MedianFinder", "addNum", "addNum", "findMedian", "addNum", "findMedian"]
[[], [1], [2], [], [3], []]
输出
[null, null, null, 1.5, null, 2.0]

解释
MedianFinder medianFinder = new MedianFinder();
medianFinder.addNum(1);    // arr = [1]
medianFinder.addNum(2);    // arr = [1, 2]
medianFinder.findMedian(); // 返回 1.5 ((1 + 2) / 2)
medianFinder.addNum(3);    // arr[1, 2, 3]
medianFinder.findMedian(); // return 2.0

提示:

• -105 <= num <= 105
• 在调用 findMedian 之前，数据结构中至少有一个元素
• 最多 5 * 104 次调用 addNum 和 findMedian

思路

这里我们最容易想到的暴力解法就是每次插入时排序，但是这种方法时间复杂度太高，其实这里我们可以使用一个大堆和一个小堆来维护所有数，各分一半数据，若两边长度相等，则返回两个堆顶相加除2的值，若不等，返回大堆堆顶即可。

在构造函数中初始化两个优先队列，left 用于存放较小的一半元素（最大堆），right 用于存放较大的一半元素（最小堆）。 在 addNum 方法中，根据元素的大小选择将其插入到左堆或右堆。插入后需要保持两个堆的大小差不超过 1，以确保中位数的计算。 在 findMedian 方法中，根据两个堆的大小关系返回中位数。通过这种方式，不断将数据插入到两个堆中，并保持它们的大小差不超过 1，就能够在 O(1) 时间内查找到当前数据流的中位数。

代码

class MedianFinder {
    priority_queue<int> left;
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> right;
public:
    MedianFinder() {}
    
    void addNum(int num) {
        if(left.size()==right.size()){
            if(left.empty()||num<=left.top()) left.push(num);
            else{
                right.push(num);
                left.push(right.top());
                right.pop();
            }
        }
        else{
            if(num<=left.top()){
                left.push(num);
                right.push(left.top());
                left.pop();
            }else right.push(num);
        }
    }
    
    double findMedian() {
        if(left.size()==right.size()) return (left.top()+right.top())/2.0;
        return left.top();
    }
};

/**
 * Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:
 * MedianFinder* obj = new MedianFinder();
 * obj->addNum(num);
 * double param_2 = obj->findMedian();
 */