解线性方程组（一）——克拉默法则求解（C++）

克拉默法则

解线性方程组最基础的方法就是使用克拉默法则，需要注意的是，该方程组必须是线性方程组。
假设有方程组如下：
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$
将其转换为矩阵形式
$$Ax=b$$
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = [ b 1 b 2 ⋮ b n ] \begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x_{1}}\\ {x_{2}}\\ {\vdots}\\ {x_{n}}\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {b_{1}}\\ {b_{2}}\\ {\vdots}\\ {b_n} \end{bmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​ ​x1​x2​⋮xn​​ ​= ​b1​b2​⋮bn​​ ​
根据克拉默法则有：
$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|}$$
A i = [ a 11 ⋯ a 1 i − 1 b 1 a 1 i + 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 i − 1 b 2 a 2 i + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n i − 1 b n a n i + 1 ⋯ a n n ] A_i= \begin{bmatrix} {a_{11}}&{\cdots}&{a_{1i-1}}&{b1}&{a_{1i+1}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{\cdots}&{a_{2i-1}}&{b2}&{a_{2i+1}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{n1}}&{\cdots}&{a_{ni-1}}&{bn}&{a_{ni+1}}&{\cdots}&{a_{nn}}\\ \end{bmatrix} Ai​= ​a11​a21​⋮an1​​⋯⋯⋮⋯​a1i−1​a2i−1​⋱ani−1​​b1b2⋮bn​a1i+1​a2i+1​ani+1​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​ann​​ ​

代码

实现方法可以参考行列式求值（C++）、插值（一）——多项式插值（C++）

//克拉默法则求解线性方程组
/*
5x1+2x2-2x3=1
x1+4x2+x3=2
x1-2x2+4x3=-1
*/
#include
#include
//使用代数余子式进行求解
double determinant_value(double **D,int n)
{
    if(n==1)
    {
        return D[0][0];
    }
    else if(n==0){
        throw "error: determinant is empty";
    }
    char flag = 1;//符号位
    double D_value = 0.0;
    double **D_temp = new double*[n];
    for (int i = 0; i < n;i++)
    {
        D_temp [i]= new double[n];
        for(int j=0;j>n;
    double *x=new double[n];
    double **A = new double *[n];
    std::cout<<"请输入矩阵A的元素："<>A[i][j];
        }
    }
    double *b = new double [n];
    std::cout<<"请输入矩阵b的元素："<>b[i];
    }
    Kramer(A, b, x, n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        std::cout<<"x"<

结果分析

运行结果如下：

matlab结果如下：

此方法虽然可以求解，但是存在一个问题，就是当矩阵维度较大时，程序运行时间会很长，所以在一些精度要求不高的地方，不需要使用此方法。