Rqnoj105 核电站问题 题解

      又回到我可爱的Blog了~昨天偷了点懒，一篇文章也没写~今天一定抽时间补上。

      下面切入正题。

 

 

【题目描述】(rqnoj105)

一个核电站有N个放核物质的坑，坑排列在一条直线上。如果连续M个坑中放入核物质，则会发生爆炸，于是，在某些坑中可能不放核物质。

任务：对于给定的N和M，求不发生爆炸的放置核物质的方案总数



【输入格式】

输入文件只一行，两个正整数N，M( 1<N<50，2≤M≤5)



【输出格式】

输出文件只有一个正整数S，表示方案总数。



【样例输入】

4 3



【样例输出】

13

 

 

      这是一道线性递推类的动态规划。说实话，这道题我直接看的题解，竟然没有看懂，纠结我一节课…先把代码贴上：

 

 

  
    

   
     
   
      1 
   
     program
   
      nuclear;

   
      2 
   
      
   
     var
   
     

   
      3 
   
      f:
   
     array
   
     [
   
     -
   
     6
   
     ..
   
     60
   
     ]
   
     of
   
      int64;

   
      4 
   
      i,m,n:integer;

   
      5 
   
      
   
     begin
   
     

   
      6 
   
      readln(n,m);

   
      7 
   
      f[
   
     0
   
     ]:
   
     =
   
     1
   
     ;

   
      8 
   
      f[
   
     -
   
     1
   
     ]:
   
     =
   
     1
   
     ;

   
      9 
   
      
   
     for
   
      i:
   
     =
   
     1
   
      
   
     to
   
      n 
   
     do
   
     

   
     10 
   
      f[i]:
   
     =
   
     2
   
     *
   
     f[i
   
     -
   
     1
   
     ]
   
     -
   
     f[i
   
     -
   
     m
   
     -
   
     1
   
     ];

   
     11 
   
      writeln(f[n]);

   
     12 
   
      
   
     end
   
     .
   
     

   
      
  
    

 

 

      这巨短的代码理解起来还真不容易。首先，f数组存储的是到第f个坑可能出现的情况数。网上很多题解都用到分情况讨论，根据Jingo大牛的无敌思想，只要把数组向前多定m位，即-m到n即可。

      另外一个比较纠结的地方就是这个神奇的动态方程。你可以自己分析一下，如果不懂请看下文。

      我们先将方程分解，即f[i]:=f[i-1]+f[i-1]-f[i-m-1]，这是显而易见的。两个f[i-1]分别代表的是f[i]位上放或者不放。但是f[i]上能放的条件是连续的一排上最多有m-1堆。以样例为例，当i=4时有以下状态：

 

 

 

 

 

      因为如果在（4）放，在（3）号坑放的前提下（2）一定是不放的。所以要用在f[i-1]（3号坑放的那一个）中排除有（2）且有（3）的那种情况。

      由题意可知，如果（2）（3）都有核物质，（1）中一定没有。所以能达到图中的的状态的情况数只等于f[0]，即f[i-m-1]的值。这时f[i-1]-f[i-m-1]就好理解了。

      还有一个问题就是为什么f[0]和f[-1]都初始化为1。这可以从上文很简单的找到答案。因为当i=m（i-m-1=-1）或i=m+1（i-m-1=0）时，需要减去i,i-1,…,i-m+1都有核物质的这一种不符合题意的情况。

      现在请把鼠标滚轮向上滚，重新看一遍代码。这是你就可以体会到这段伟大的O（n）的DP代码的魅力了。

 

（saltless原创，转载请注明出处）