原创：hxj7
前文介绍了重复匹配问题的动态规划算法，但是遗留了重复结果输出的问题。本文对该问题进行了补充说明。
前文《序列匹配(五)——重复匹配问题的动态规划算法》介绍了重复匹配问题的动态规划算法。重复匹配问题就是从序列中找到序列的多个拷贝，并且使这多个拷贝的“标准比对分值”之和最大。《生物序列分析》一书中给出的迭代公式是：
经过笔者分析，在前文中给出的迭代公式是：
但是这个公式在回溯时会出现重复结果输出的问题，比如：
经过笔者近期回顾，发现重复结果输出的可能途径有二（当然可能还有其他途径）：
一是：
这两种回溯步骤结果一致，但意义互相矛盾。二者只能取其一。
二是：
第一个箭头表示的回溯步骤要求参与联配，而第二个箭头表示的回溯步骤要求不参与联配。二者互相矛盾，所以该回溯不成立。
校正公式和代码
笔者认为，上述重复结果输出的问题主要可能是因为的定义不清晰，导致既能表示参与联配，也能表示不参与联配。
为此，笔者给出新的更清晰的符号定义以及公式。表示以结尾且不参与联配的最高得分。表示以和结尾且参与联配的最高得分。
那么迭代公式是：
需要说明的是：
- 上述公式中令是为了让，以免产生重复结果输出。
- 不光意味着和一个空位联配，且代表了一个“旧联配段”的结束和一个“新联配段”的开始，只不过这个新联配是以空位开始的。
- 表示参与联配。其迭代公式中第一项表示开始了一个新的局部联配；而后三项表示加入（或者说延续）前一个局部联配。
- 最终比对的最高得分就是。
这样的公式目前还没有出现重复结果输出的问题：
相应的代码放在了文末。
对比对总长度的估计
在写代码的过程中，遇到一个小问题，就是要对最优比对结果的总长度（以下简称比对总长度）进行估计。即序列长度为，序列长度为。那么比对总长度是在什么范围内呢？这里说的总长度包括了序列中未参与联配的碱基。
由于序列每个碱基在迭代的过程中都要被遍历到，所以的下界是（比如考虑序列是，而序列是，那么）：
假设比对时的得分是，而的得分是。那么，总长度的一个宽松上界是：
其中，表示的绝对值，表示不大于的最大整数。上述不等式证明如下：
假设将长度为的序列分割成一系列子序列，这些子序列构成一个
完整分割集，即
如果将的长度记为，则有：
并且，要么是“非联配段”，要么是“联配段”。所谓“非联配段”，即该段序列中的所有碱基都不参与最终的联配；所谓“联配段”，即该段序列中的所有碱基都参与最终的联配。
接着，将每个子序列与长度为的序列进行局部比对，比对的长度记为。
如果是“联配段”，由于是局部比对，假设比对时的得分是，而的得分是（这里假设都是简单情形，即所有符号的得分都是一样的，所有符号的得分也都是一样的，且空位罚分是线性的），
则有：
其中，表示的绝对值，表示不大于的最大整数。上述不等式是一个宽松上界，证明也很简单，其关键就是局部比对的总分值不能小于0，以至于会限制空位的数量不得高于。
如果是“非联配段”，那么：
所以，不管是“非联配段”，还是“联配段”，都有：
那么，这些子序列的比对结果拼接起来的长度为：
我们知道，重复匹配问题其实就是将序列分割成一段段互不交叠的子序列，然后每一段子序列都和序列进行局部比对。
假设重复匹配问题最终的比对结果是将序列按上面所述完整分割集分割成一系列子序列，那么重复匹配问题的比对总长度当然也服从上述不等式，即
总的来说，重复匹配问题的比对总长度（在上述简单情形下）在以下范围内：
实现代码
#include
#include
#include
#include
#define MAXSEQ 1000
#define GAP_CHAR '-'
#define UNALIGN_CHAR '.'
#define max2(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
// 对空位的罚分是线性的
struct FUnit {
int W0; // X{i-1}不参与联配
int* Wj; // 跳转到A(i - 1, j)
int nj; // Wj数组的大小
float M; // F(i,0)的值
};
typedef struct FUnit* pFUnit;
// 00000001 F(i, 0) + s(i, j)
// 00000010 是否往左回溯一格
// 00000100 是否往左上回溯一格
// 00001000 是否往上回溯一格
struct AUnit {
int Wi; // 不同的bit代表不同的回溯方式
float M;
};
typedef struct AUnit* pAUnit;
float gap = -2.5; // 对空位的罚分
float match = 5;
float unmatch = -4;
void strUpper(char *s);
float maxArray(float *a, int n);
float getFScore(char a, char b);
void printFAlign(pFUnit* f, pAUnit** a, const int i, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n, int flag);
void printAAlign(pFUnit* f, pAUnit** a, const int i, const int j, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n);
void align(char *s, char *r, float t);
int main() {
char s[MAXSEQ];
char r[MAXSEQ];
float t;
printf("The 1st seq: ");
scanf("%s", s);
printf("The 2nd seq: ");
scanf("%s", r);
printf("T (threshold): ");
scanf("%f", &t);
align(s, r, t);
return 0;
}
void strUpper(char *s) {
while (*s != '\0') {
if (*s >= 'a' && *s <= 'z') {
*s -= 32;
}
s++;
}
}
float maxArray(float *a, int n) {
float max = a[0];
int i;
for (i = 1; i < n; i++) {
if (a[i] > max)
max = a[i];
}
return max;
}
// 替换矩阵：match分值为5，mismatch分值为-4
// 数组下标是两个字符的ascii码减去65之后的和
float FMatrix[] = {
5, 0, -4, 0, 5, 0, -4, 0, -4, 0,
0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -4,
0, -4, 0, 0, 0, -4, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5
};
float getFScore(char a, char b) {
return FMatrix[a + b - 'A' - 'A'];
}
void printFAlign(pFUnit* f, pAUnit** a, const int i, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n, int flag) {
// flag: 是否是从F(i+1,0)跳转过来，而不是从F(i, 0) + s(i, j)跳转过来
int k;
pFUnit p = f[i];
//printf("i=%d, n=%d, flag=%d\n", i, n, flag);
if (! i) { // 保证序列s的每个字符都比对上
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
printf("%c", saln[k]);
printf("\n");
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
printf("%c", raln[k]);
printf("\n\n");
return;
}
if (flag) {
saln[n] = s[i - 1];
raln[n] = UNALIGN_CHAR;
}
if (p->W0)
printFAlign(f, a, i - 1, s, r, saln, raln, n + flag, 1);
for (k = 0; k < p->nj; k++)
if (p->Wj[k])
printAAlign(f, a, i - 1, k + 1, s, r, saln, raln, n + flag);
}
void printAAlign(pFUnit* f, pAUnit** a, const int i, const int j, char* s, char* r, char* saln, char* raln, int n) {
int k;
pAUnit p = a[i][j];
//printf("i=%d, j=%d, n=%d\n");
if (! i) { // 保证序列s的每个字符都比对上
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
printf("%c", saln[k]);
printf("\n");
for (k = n - 1; k >= 0; k--)
printf("%c", raln[k]);
printf("\n\n");
return;
}
if (! j) { // F(i, 0) + d
saln[n] = s[i - 1];
raln[n] = GAP_CHAR;
printFAlign(f, a, i, s, r, saln, raln, n + 1, 0);
} else {
if (p->Wi & 1) { // F(i, 0) + s(i, j)
saln[n] = s[i - 1];
raln[n] = r[j - 1];
printFAlign(f, a, i, s, r, saln, raln, n + 1, 0);
}
if (p->Wi & 2) { // 向上回溯一格
saln[n] = s[i - 1];
raln[n] = GAP_CHAR;
printAAlign(f, a, i - 1, j, s, r, saln, raln, n + 1);
}
if (p->Wi & 4) { // 向左上回溯一格
saln[n] = s[i - 1];
raln[n] = r[j - 1];
printAAlign(f, a, i - 1, j - 1, s, r, saln, raln, n + 1);
}
if (p->Wi & 8) { // 向左回溯一格
saln[n] = GAP_CHAR;
raln[n] = r[j - 1];
printAAlign(f, a, i, j - 1, s, r, saln, raln, n + 1);
}
}
}
void align(char *s, char *r, float t) {
int i, j, k;
int m = strlen(s);
int n = strlen(r);
float tm[4];
float em; // F(m + 1, 0)
pFUnit* fUnit;
pAUnit** aUnit;
char* salign;
char* ralign;
int alnSize = m + floor(m * abs(match / gap));
// 初始化
if ((fUnit = (pFUnit*) malloc(sizeof(pFUnit) * (m + 1))) == NULL || \
(aUnit = (pAUnit**) malloc(sizeof(pAUnit*) * (m + 1))) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
for (i = 0; i <= m; i++) {
if ((fUnit[i] = (pFUnit) malloc(sizeof(struct FUnit))) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
fUnit[i]->W0 = 0;
fUnit[i]->nj = n;
// 创建F(i, 0)的跳转数组
if ((fUnit[i]->Wj = (int*) malloc(sizeof(int) * fUnit[i]->nj)) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
for (k = 0; k < fUnit[i]->nj; k++) {
fUnit[i]->Wj[k] = 0;
}
}
for (i = 0; i <= m; i++) {
if ((aUnit[i] = (pAUnit *) malloc(sizeof(pAUnit) * (n + 1))) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
for (j = 0; j <= n; j++) {
if ((aUnit[i][j] = (pAUnit) malloc(sizeof(struct AUnit))) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
aUnit[i][j]->Wi = 0;
}
}
fUnit[0]->M = 0;
aUnit[0][0]->M = gap; // 注意这里设置A(0,0) != 0 是很有必要的，否则A(0,0)=F(0,0)会导致重复结果输出
for (j = 1; j <= n; j++)
aUnit[0][j]->M = gap;
// 将字符串都变成大写
strUpper(s);
strUpper(r);
// 动态规划算法计算得分矩阵每个单元的分值
for (i = 1; i <= m; i++) {
// 计算F(i, 0) i >= 1
fUnit[i]->M = fUnit[i - 1]->M;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (fUnit[i]->M < aUnit[i - 1][j]->M - t)
fUnit[i]->M = aUnit[i - 1][j]->M - t;
if (fUnit[i]->M == fUnit[i - 1]->M)
fUnit[i]->W0 = 1;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (fUnit[i]->M == aUnit[i - 1][j]->M - t)
fUnit[i]->Wj[j - 1] = 1;
// 计算A(i, 0) i >= 1
aUnit[i][0]->M = fUnit[i]->M + gap;
aUnit[i][0]->Wi |= 1;
// 计算A(i, j) i >= 1 and j >= 1
for (j = 1; j <= n; j++) {
tm[0] = fUnit[i]->M + getFScore(s[i - 1], r[j - 1]);
tm[1] = aUnit[i - 1][j]->M + gap;
tm[2] = aUnit[i - 1][j - 1]->M + getFScore(s[i - 1], r[j - 1]);
tm[3] = aUnit[i][j - 1]->M + gap;
aUnit[i][j]->M = maxArray(tm, 4);
for (k = 0; k < 4; k++)
if (tm[k] == aUnit[i][j]->M)
aUnit[i][j]->Wi |= 1 << k;
}
}
// 计算F(m + 1, 0)
em = fUnit[m]->M;
for (j = 1; j <= n; j++)
if (em < aUnit[m][j]->M - t)
em = aUnit[m][j]->M - t;
/*
// 打印得分矩阵
for (i = 0; i <= m; i++)
printf("%f ", fUnit[i]->M);
printf("\n");
for (i = 0; i <= m; i++) {
for (j = 0; j <= n; j++)
printf("%f ", aUnit[i][j]->M);
printf("\n");
}
*/
printf("max score: %f\n", em);
// 打印最优比对结果，如果有多个，全部打印
// 递归法
if (em == 0) {
fputs("No seq aligned.\n", stdout);
} else {
if ((salign = (char*) malloc(sizeof(char) * alnSize)) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
if ((ralign = (char*) malloc(sizeof(char) * alnSize)) == NULL) {
fputs("Error: Out of space!\n", stderr);
exit(1);
}
if (em == fUnit[m]->M)
printFAlign(fUnit, aUnit, m, s, r, salign, ralign, 0, 1);
for (j = 1; j <= n; j++)
if (em == aUnit[m][j]->M - t)
printAAlign(fUnit, aUnit, m, j, s, r, salign, ralign, 0);
// 释放内存
free(salign);
free(ralign);
}
for (i = 0; i <= m; i++) {
for (j = 0; j <= n; j++)
free(aUnit[i][j]);
free(aUnit[i]);
}
free(aUnit);
for (i = 0; i <= m; i++) {
free(fUnit[i]->Wj);
free(fUnit[i]);
}
free(fUnit);
}
（公众号：生信了）