【集训笔记】归纳与递推【HDOJ1297

例:(2050)折线分割平面

问题描述:

  平面上有n条折线,问这些折线最多能将平面分割成多少块?

样例输入

  1

  2

样例输出

  2

  7

平面上有n条折线,问这些折线最多能将平面分割成多少块?

解: 折线反向延伸就是相交线 ,n条相交线分割平面的块数最多为 F(n) =2n(2n+1)/2 +1

         由于反向延伸而增加的平面数为 g(n)= 3+(n-1)2 -1 =2n

         所以 f(n)= F(n)- g(n) =2n^2 -n +1

3.“佐罗”的烦恼

说起佐罗,大家首先想到的除了他脸上的面具,恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道,一个“Z”可以把平面分为2部分,两个“Z”可以把平面分为12部分,那么,现在的问题是:如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢?

说明1:“Z”的两端应看成射线

说明2:“Z”的两条射线规定为平行的

    解:先将"z"的线段和射线进行延伸处理,形成两平行线加一斜相交直线

         n+1 个这样的组合可将平面最多分割成 F(n+1) = F(n)+(3n+1)2 +3n+3 =F(n)+9n+5

          F(n+1) =Sum(9i+5)+F(1) i: 1->n

                      =n(n+1)9/2 +5n +6

         F(n) =n(n-1)9/2 +5n +1

         所以 f(n)= F(n) -4n =n(n-1)9/2 +n +1
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思考题:平面分割方法

问题的提出:

    设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

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平面分割方法

   设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线恰好相交于两点,且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解: 

        如图可得 F(1)=2

                        F(n)=F(n-1) +2(n-1)

        解得 F(n) =n(n-1) +2
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1465 不容易系列之一

某人写了n封信和n个信封,如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。 

 

分析思路:

1、当有N封信的时候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装

2、前者,对于每一种错装,可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装,故=F(N-1) * (N-1)

3、后者简单,只能是没装错的那封信和第N封信交换信封,没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个,故= F(N-2) * (N-1)

得到如下递推公式:


基本形式:d[1]=0;   d[2]=1
递归式:d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])

   这就是著名的错排公式

思考: 为什么只有两种情况?前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装 ---更多的错装已经包含在N-1封错装中

    F(N-1) * (N-1) : 表示对于每一种错装,有 N-1 种替换选择

   F(N-2) * (N-1) : 从N-1 封中选出一封是装对的(这样的选择数有(N-1)种),余下的 N-2封有F(N-2)种错装情况,乘以选择数 (N-1) 即得。。

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最后一个思考题(有点难度)

HDOJ1297

Children’s Queue

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 9798    Accepted Submission(s): 3117


Problem Description
There are many students in PHT School. One day, the headmaster whose name is PigHeader wanted all students stand in a line. He prescribed that girl can not be in single. In other words, either no girl in the queue or more than one girl stands side by side. The case n=4 (n is the number of children) is like
FFFF, FFFM, MFFF, FFMM, MFFM, MMFF, MMMM
Here F stands for a girl and M stands for a boy. The total number of queue satisfied the headmaster’s needs is 7. Can you make a program to find the total number of queue with n children?
 
Input
There are multiple cases in this problem and ended by the EOF. In each case, there is only one integer n means the number of children (1<=n<=1000)
Output
For each test case, there is only one integer means the number of queue satisfied the headmaster’s needs.
Sample Input
1 2 3
Sample Output
1 2 4
 

解题分析:

按照最后一个人的性别分析,他要么是男,要么是女,所以可以分两大类讨论: <br>1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男,则对前面n-1个人的队列没有任何限制,他只要站在最后即可,所以,这种情况一共有F(n-1);
2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女,则要求队列的第n-1个人务必也是女生,这就是说,限定了最后两个人必须都是女生,这又可以分两种情况:<br> 2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列,则显然后面再加两个女生,也一定是合法的,这种情况有F(n-2);<br> 2.2、但是,难点在于,即使前面n-2个人不是合法的队列,加上两个女生也有可能是合法的,当然,这种长度为n-2的不合法队列,不合法的地方必须是尾巴,就是说,<br>这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”,这种情况一共有F(n-4).<br>注意:这里的数字很大,存储需使用数组
 1 #include<iostream>

 2 using namespace std;

 3 int main()

 4 {

 5   int arr[1001][101]={0};

 6   arr[0][1]=1;

 7   arr[1][1]=1;

 8   arr[2][1]=2;

 9   arr[3][1]=4;

10   for(int i=4;i<1001;i++)

11   {

12       for(int j=1;j<101;j++)

13       {

14          arr[i][j]+=arr[i-1][j]+arr[i-2][j]+arr[i-4][j];//

15          arr[i][j+1]+=arr[i][j]/10000;//

16          arr[i][j]=arr[i][j]%10000;//

17       }

18   }

19       int num;

20       while(cin>>num)

21       {

22           int k=100;

23          for(;arr[num][k]==0;k--);

24              cout<<arr[num][k];

25          for(;k>1;)

26          {

27              k--;

28              cout.width(4);

29              cout.fill('0');

30              cout<<arr[num][k];

31          }

32          cout<<endl;

33       }

34 }

 

 

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