泰勒级数

在数学上，一个定义在开区间（a-r, a+r）上的无穷可微实变函数或复变函数f 的泰勒级数是如下的幂级数：

这里，n! 表示n 的阶乘而表示函数f 在点a 处的n 阶导数。如果泰勒级数对于区间 (a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f (x)，那么我们就称函数f (x)为解析的（analytic）。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f (x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a = 0，那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

1. 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2. 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3. 泰勒级数可以用来近似计算函数的值。