离散数学 第一章 命题逻辑 1-2 联结词
在自然语言中，常常使用“或”，“与”，“但是”等一些联结词，对于这种联结词的使用，一般没有很严格的定义，因此有时显得不很确切。在数理逻辑中，复合命题是由原子命题与逻辑联结词组合而成，联结词是复合命题中的重要组成部分，为了便于书写和进行推演，必须对联结词作出明确规定并符号化。下面介绍各个联结词。
(1)否定
定义1-2.1设p为一命题，p的否定是一个新的命题，记作┓p.若p为t, ┓p为f;若p为f,┓p为t.联结词＂┓＂表示命题的否定.否定联结词有时亦可记作＂－＂.
命题p与其否定┓p的关系如表1-2.1所示.
表1-2.1
| p |
┓p |
| t |
f |
| f |
t |
例 p:上海是一个大城市.
┓p:上海并不是一个大城市.
或 ┓p:上海是一个不大的城市.
这两个命题用同一符号┓p表示,因为在汉语中这两个命题具有相同的意义.
“否定”的意义仅是修改了命题的内容,我们仍把它看作为联结词,它是一个一元运算.
(2)合取
定义1-2.2 两个命题p和q的合取是一个复合命题,记作p∧q.当且仅当p、q同时为t时, p∧q为t,在其他情况下, p∧q的真值都是f.
联结词＂∧＂的定义如表1-2.2所示.
表1-2.2
| p |
q |
p∧q |
| t |
t |
t |
| t |
f |
f |
| f |
t |
f |
| f |
f |
f |
例如 p:今天下雨.
q:明天下雨.
上述命题的合取为 p∧q:今天下雨而且明天下雨.
p∧q:今天与明天都下雨.
p∧q:这两天都下雨.
显然只有当“今天下雨”与“明天下雨”都是真时,“这两天都下雨”才是真的.
合取的概念与自然语言中的”与”意义相似,但并不完全相同.
例如 p:我们去看电影.
q:房间里有十张桌子.
上述命题的合取为
p∧q:我们去看电影与房间里有十张桌子.
在自然语言中,上述命题是没有意义的,因为p与q没有内在联系,但作为数理逻辑中p和q的合取p∧q来说,它仍可成为一个新的命题,只要按照定义,在p、q分别取真值后, p∧q的真值也p∧q必确定.
命题联结词“合取”甚至可以将两个互为否定的命题联结在一起.这时,其真值永为f.
命题联结词“合取”也可以将若干个命题联结在一起.
“合取”是一个二元运算.
(3)析取
定义1-2.3 两个命题p和q的析取是一个复合命题,记作p∨q.当且仅当p、q同时为f时, p∨q的真值为f,否则p∨q的真值为t.
联结词“∨”的定义如表1-2.3所示.
表1-2.3
| p |
q |
p∨q |
| t |
t |
t |
| t |
f |
t |
| f |
t |
t |
| f |
f |
f |
从析取的定义可以看到,联结词∨与汉语中的“或”的意义也不完全相同,因为汉语中的“或”,可表示“排斥或”,也可以表示“可兼或”。
例1 今天晚上我在家看电视或去剧场看戏.
例2 他可能是100米或400米赛跑的冠军.
在例1中的“或”是“排斥或”,例2中的“或”是“可兼或”,而析取指的是“可兼或”.还有一些汉语中的“或”字,实际不是命题联结词.
例3 他昨天做了二十或三十道习题.
这个例子中的“或”字,只表示了习题的近似数目,不能用联结词“析取”表达,例3是个原子命题.
(4)条件
定义1-2.4 给定两个命题p和q,其条件命题是一个复合命题,记作p→q,读作“如果p,那么q”或“若p则q”.当且仅当p的真值为t,q的真值为f时, p→q的真值为f,否则p→q的真值为t.我们称p为前件,q为后件.
联结词“→”的定义如表1-2.4所示.
表1-2.4
| p |
q |
p→q |
| t |
t |
t |
| t |
f |
f |
| f |
t |
t |
| f |
f |
t |
例1 如果某动物为哺乳动物,则它必胎生.
例2 如果我得到这本小说,那么我今夜就读完它.
例3 如果雪是黑的,那么太阳从西边出.
上述三个例子都可用条件命题p→q表达.
在自然语言中,“如果…”与“那么…”之间常常是有因果联系的,否则就没有意义,但对条件命题p→q来说,只要p,q能够分别确定真值, p→q即成为命题.此外,自然语言中对“如果…,则…”这样的语句,当前提为假时,结论不管真假,这个语句的意义,往往无法判断.而在条件命题中,规定为“善意的推定”,即前提为f时,条件命题的真值都取为t.
在数学上和有些逻辑学的书籍中,“若p则q”亦可叫作p蕴含q,而本书在条件命题中将避免使用“蕴含”一词,因为在以后将另外定义“蕴含”这个概念.
命题联结词“→”亦可记作“é”.条件联结词亦是二远运算.
(5)双条件
定义1-2.5 给定两个命题p和q,其复合命题p«q称作双条件命题,读作“p当且仅当q”,当p和q的真值相同时, p«q的真值为t,否则p«q的真值为f.
联结词“«”的定义可如表1-2.5所示.
表1-2.5
| p |
q |
p«q |
| t |
t |
t |
| t |
f |
f |
| f |
t |
f |
| f |
f |
t |
例1 两个三角形全等，当且今当它们的三组对应边相等。
例2 燕子飞回南方，春天来了。
例3 2+2=4当且仅当雪是白的。
上面三个例子都可用双条件命题p«q来表示。与前面的联结词一样，双条件命题也可以不顾其因果联系，而只根据联结词定义确定真值。双条件联结词亦可记作“«”或”iff“。它亦是二元运算。