离散数学 第一章 命题逻辑 1-4真值表与等价公式
定义1-4。1在命题公式中，对于分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。
现举例说明如下：
例题1 构造┓p∨q的真值表。
解
表1-4.1
| p |
q |
┓p |
┓p∨q |
| t |
t |
f |
t |
| t |
f |
f |
f |
| f |
t |
t |
t |
| f |
f |
t |
t |
例题2 给出（p∧q）∧┓p的真值表。
解
表1-4.2
| p |
q |
p∧q |
┓p |
（p∧q）∧┓p |
| t |
t |
t |
f |
f |
| t |
f |
f |
f |
f |
| f |
t |
f |
t |
f |
| f |
f |
f |
t |
f |
例题3 给出（p∧q）∨（┓p∧┓q）的真值表。
解
表1-4.3
| p |
q |
┓p |
┓q |
p∧q |
┓p∧┓q |
（p∧q）∨（┓p∧┓q） |
| t |
t |
f |
f |
t |
f |
t |
| t |
f |
f |
t |
f |
f |
f |
| f |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
| f |
f |
t |
t |
f |
t |
t |
例题4给出┓（p∧q）«（┓p∨┓q）的真值表。
解
表1-4.4
| p |
q |
p∧q |
┓（p∧q） |
┓p |
┓q |
┓p∨┓q |
┓（p∧q）«（┓p∨┓q） |
| t |
t |
t |
f |
f |
f |
f |
t |
| t |
f |
f |
t |
f |
t |
t |
t |
| f |
t |
f |
t |
t |
f |
t |
t |
| f |
f |
f |
t |
t |
t |
t |
t |
由表1-4.4（表1-4.2）可以看出，有一类公式不论命题变元作何种指派，其真值永为真（假），我们把这类公式记为t（f）。
在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于分量的个数。例如，由2个命题变元组成的命题公式共有四种可能的真值，由8个命题变元组成的命题公式共有八种可能的真值。一般说来，n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┓p∨q与p→q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
| p |
q |
┓p∨q |
p→q |
| t |
t |
t |
t |
| t |
t |
f |
f |
| f |
t |
t |
t |
| f |
f |
t |
t |
同理（p∧q）∨（┓p∧┓q）与p«q对应的真值相同，如表1-4.6所表示。
表1-4.6
| p |
q |
p«q |
（p∧q）∨（┓p∧┓q） |
| t |
t |
t |
t |
| t |
f |
f |
f |
| f |
t |
f |
f |
| f |
f |
t |
t |
定义1-4.2给定两个命题公式a和b，设p1，p2，…，pn为所有出现于a和b中的原子变元，若给p1，p2，…，pn任一组真值指派，a和b的真值都相同，则称a和b是等价的或逻辑相等。记作aûb.
例题5 证明p«qû（p→q）∧（q→p）
证明列出真值表
表1-4.7
| p |
q |
p→q |
q→p |
p«q |
（p→q）∧（q→p） |
| t |
t |
t |
t |
t |
t |
| t |
f |
f |
t |
f |
f |
| f |
t |
t |
f |
f |
f |
| f |
f |
t |
t |
t |
t |
由表1-4.7可知p«q与（p→q）∧（q→p）真值相同，命题得证。
表1-4.8列出的命题定律，都可以用真值表予以验证。
表1-4。8
| 对合律 |
┓┓pûp |
1 |
| 冥等律 |
p∨pûp, p∧pûp |
2 |
| 结合律 |
(p∨q)∨rûp∨(q∨p) (p∧q)∧rûp∧(q∧p) |
3 |
| 交换律 |
p∨qûq∨p p∧qûq∧p |
4 |
| 分配律 |
p∨(q∧r) û (p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r) û (p∧q)∨(p∧r) |
5 |
| 吸收律 |
p∨(p∧q) ûp p∧(p∨q) ûp |
6 |
| 德·摩托律 |
┓(p∨q) û┓p∧┓q ┓(p∧q) û┓p∨┓q |
7 |
| 同一律 |
p∨fûp, p∧tûp |
8 |
| 零律 |
p∨tût, p∧fûf |
9 |
| 否定律 |
p∨┓pût, p∧┓pûf |
10 |
例题6验证吸收律 p∨(p∧q)ûp
p∧(p∨q)ûp
证明列出真值表
表1-4.9
| p |
q |
(p∧q) |
p∨(p∧q) |
(p∨q) |
p∧(p∨q) |
| t |
t |
t |
t |
t |
t |
| t |
f |
f |
t |
t |
t |
| f |
t |
f |
f |
t |
f |
| f |
f |
f |
f |
f |
f |
由表1-4.9可知吸收律成立。
在一个命题公式中，如果用公式置换命题的某个部分，一般地将会产生某种新的公式，例如q→（p∨(p∧q)）中以（┓p→q）取代(p∧q)，则q→（p∨（┓p→q））就与原式不同。为了保证取代后的公式与原始公式是等价的，故需对置换作出一些规定。
定义1-4.3如果x是合式公式a的一部分，且x本身也是一个合式公式，则称x为公式a的子公式。
定理1-4.1设x是合式公式a的子公式，若xûy，如果将a中的x用y来置换，所得到公式b与公式a等价，即aûb。
证明 因为在相应变元的任一种指派情况下，x与y的真值相同，故以y取代x后，公式b与公式a在相应的指派情况下，其真值亦必相同，故aûb。
满足定理1-4。1条件的置换称为等价置换（等价代换）。
例题7 证明q→（p∨(p∧q)）ûq→p
证明 设a：q→（p∨(p∧q)）
因为 p∨(p∧q) ûp
故 b：q→p，即aûb
对aûb亦可用表1-4.10予以验证：
表1-4.10
| p |
q |
p∧q |
p∨(p∧q) |
q→（p∨(p∧q)） |
q→p |
| t |
t |
t |
t |
t |
t |
| t |
f |
f |
t |
t |
t |
| f |
t |
f |
f |
f |
f |
| f |
f |
f |
f |
t |
t |
我们有了最基本的命题公式的等价关系，再利用定理1-4.1就可以推理一些更为复杂的命题等价公式。现举例说明如下：
例题8 证明(p∧q)∨(p∧┓q) ûp
证明 (p∧q)∨(p∧┓q) ûp∧（q∨┓q）ûp∧tûp
例题9 证明ｐ→（q→ｒ）ûｑ→（ｐ→ｒ）û┓ｒ→（ｑ→┓ｐ）
证明ｐ→（q→ｒ）û┓ｐ∨(┓q∨r) û┓q∨(┓p∨r) ûq→(ｐ→r)
又 ｐ→（q→ｒ）û┓ｐ∨(┓q∨r) ûr∨(┓q∨┓p) û┓r→(q→┓ｐ)
例题10证明（（p∧q）∧┓(┓p∧(┓q∨┓r))）∨(┓p∧┓q)∨(┓p∨┓r) ût
证明 原式左边û（（p∧q）∧┓(┓p∧（q∨r）)）
∨(p∧q)∨┓（p∧r）
û（（p∧q）∧（p∨（q∨r））∨┓(p∧q)∨┓（p∧r）
û（（p∧q）∧（p∨q）∧（p∧r）））∨┓（（p∧q）∧（p∧r））
û（（p∧q）∧（p∧r））∨┓（（p∧q）∧（p∧r））
ût