n 皇后问题

 

  

 

问题描述：

八皇后问题是十九世纪著名数学家高斯于1850年提出的。问题是：在8*8的棋盘上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意的两个皇后不能处在同意行，同一列，或同意斜线上。可以把八皇后问题拓展为n皇后问题，即在n*n的棋盘上摆放n个皇后，使其任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

 

问题分析：

　　　显然，每一行可以而且必须放一个皇后，所以n皇后问题的解可以用一个n元向量X=（x1,x2,.....xn）表示，其中，1≤ i≤ n且1≤ xi≤ n，即第n个皇后放在第i行第xi列上。

由于两个皇后不能放在同一列上，所以，解向量X必须满足的约束条件为:

xi≠ xj;

　　若两个皇后的摆放位置分别是（i,xi）和（j,xj），在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i-j=xi-xj;在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+j=xi+xj;

综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，

解向量X必须满足的约束条件为:

|i-xi|≠ |j-xj|

 

以杭电hdu2553为例：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2553

 1 #include <cstdio>

 2 #include <cstring>

 3 using namespace std;

 4 

 5 int a[11], out[12], sum, n;

 6 

 7 void dfs (int cnt)

 8 {

 9     if (cnt == n)

10     {

11         sum++;

12         return;

13     }

14     else for (int i=0; i<n; i++)

15     {

16         bool flag = true;

17         a[cnt] = i;

18         for (int j=0; j<cnt; j++)

19             if (a[cnt]==a[j] || cnt-j==a[cnt]-a[j] || cnt+a[cnt]==a[j]+j)

20             {

21                 flag = false;

22                 break;

23             }

24         if (flag) dfs (cnt+1);

25     }

26 }

27 int main()

28 {

29     for (int i=1; i<=10; i++)

30     {

31         sum = 0;

32         memset (a, 0, sizeof a);

33         n = i;

34         dfs (0);

35         out[i] = sum;

36     }

37     while (~scanf ("%d",&n) && n)

38     {

39         printf ("%d\n",out[n]);

40     }

41     return 0;

42 }

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