HDU 1452 Happy 2004（因子和的积性函数）
题意 ： 给你一个X，让你求出2004的X次方的所有因子之和，然后对29取余。
思路 ： 原来这就是积性函数，点这里这里这里，这里讲得很详细。
在非数论的领域，积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。
在数论中的积性函数：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。
若对于某积性函数 f(n)，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。
s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;
s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;
再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.
这在数论中叫积性函数，当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);
如果p是素数 ： s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)-----其实就是等比数列求和公式 (1)
再看本题 ：
计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,
2004=2^2 *3 *167
2004^X=4^X * 3^X *167^X
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X))) 而 167%29=22
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))
a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据（1）
b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据（1）
c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据（1）
%运算法则
1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的
2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的
s(2004^X)=（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21
(a*b)/c %M= a%M* b%M * inv(c)
c*inv(c)=1 %M 模为1的所有数 inv（c）为最小可以被c整除的
inv(2)=15, inv(21)=18 2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29
s(2004^X)=（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21）mod 29 =（（2^(2X+1)-1）* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18）mod29
b^(-1)是 b的逆元素（%p）即上面的inv
2的逆元素是15 ，因为2*15=30 % 29=1 % 29
21的逆元素是18 ，因为21*18=378% 29 =1 % 29
因此
a=（powi(2,2*x+1,29)-1）% 29;
b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;
c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;
ans=（a*b）% 29*c % 29;
1 //1452 2 #include <stdio.h> 3 #include <math.h> 4 #include <iostream> 5 6 using namespace std ; 7 8 int multimod(int a,int n)//乘方模 9 { 10 int res = 1 ; 11 while(n) 12 { 13 if(n & 1) 14 { 15 res *= a ; 16 res %= 29 ; 17 } 18 a *= a ; 19 a %= 29 ; 20 n >>= 1 ; 21 } 22 return res ; 23 } 24 int main() 25 { 26 int x ; 27 while(~scanf("%d",&x)) 28 { 29 if(x == 0) break ; 30 int a = (multimod(2,2*x+1)-1) ; 31 int b = (multimod(3,x+1)-1)*15 ; 32 int c = (multimod(167,x+1)-1)*18 ; 33 printf("%d\n",(a*b*c)%29) ; 34 } 35 return 0 ; 36 }