BZOJ 1004([HNOI2008]Cards-Polya计数+k背包)

1004: [HNOI2008]Cards

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Description

小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).

 

Input

第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)。n=Sr+Sb+Sg。接下来 m 行，每行描述
一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，表示使用这种洗牌法，
第 i位变为原来的 Xi位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 m种洗牌法中的一种代替，且对每种
洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

100%数据满足 Max{Sr,Sb,Sg}<=20。

Output

不同染法除以P的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

2

HINT

 

有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次 可得BRG 和GRB。

 

置换群：可以看成本题所有的g[i]数列+不洗牌数列

置换性质：任意的置换都能由置换中的置换凑出（如果置换群U中存在：A.顺时针旋转90°，那么B：顺时针旋转180°也在U中）

等价情况：2种情况被认为是同构的，或者只计算一遍的。

根据burnside定理：

一个置换群的等价计数=∑置换i（置换后等价情况数）/置换总数

根据Polya定理：

一个情况是置换等价情况，当且仅当每个循环节的内部两两相同 于是得到C(i)=k^m{k}   m(k)为循环节长度

本题转化为在k个循环节中填入若干颜色，使3种颜色对应相等

那么背包各种Dp……

 

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cstdlib>

#include<algorithm>

#include<functional>

#include<iostream>

#include<cmath>

#include<cctype>

#include<ctime>

using namespace std;

#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)

#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)

#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)

#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)

#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)

#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])

#define MAXN (60+10)

#define MAXN (100+10)

int g[MAXN],sr,sb,sg,m,F,n;

int exgcd(int a,int b,int&x,int &y)

{

    if (!b) {x=1,y=0;return a;}

    int g=exgcd(b,a%b,x,y);

    int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;

    return g;

}

int inv(int a)

{

    int x,y;

    int g=exgcd(a,F,x,y);

    return g==1?(x+F)%F:-1;

}

int st[MAXN],size=0,sum[MAXN]={0},id[MAXN]={0};

bool b[MAXN];

int f[MAXN/3][MAXN/3][MAXN/3];

int C()

{

    size=0;memset(b,0,sizeof(b));memset(id,0,sizeof(id));

    For(i,n)

        if (!b[i])

        {

            int ans=0;

            while (!b[g[i]]) i=g[i],b[i]=1,ans++;

            //i=g[i];

            st[++size]=ans;sum[size]=sum[size-1]+st[size];id[sum[size]]=size;

        }

//    For(i,size) cout<<st[i]<<' ';puts("");

    memset(f,0,sizeof(f));f[0][0][0]=1;

    Rep(i,sr+1) Rep(j,sb+1) Rep(k,sg+1)

        if (id[i+j+k])

        {

            int v=st[id[i+j+k]];

            if (i-v>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-v][j][k])%F;

            if (j-v>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j-v][k])%F;

            if (k-v>=0) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j][k-v])%F;

        }

    return f[sr][sb][sg];

}

int main()

{

//	freopen("bzoj1004.in","r",stdin);

    scanf("%d%d%d%d%d",&sr,&sb,&sg,&m,&F);n=sr+sb+sg;

    int ans=0;

    For(i,m)

    {

        For(j,n) scanf("%d",&g[j]);

        ans=(ans+C())%F;

    }

    For(j,n) g[j]=j;

    ans=(ans+C())%F;

    ans=ans*inv(m+1)%F;

    cout<<ans<<endl;

	return 0;

}