偏序集的Dilworth定理

偏序集的Dilworth定理(转载)2008/04/21 18:48先介绍一下偏序关系：


偏序是在集合X上的二元关系≤（这只是个抽象符号，不是“小于或等于”），它满足自反性、反对称性和传递性。即，对于X中的任意元素a,b和c，有:


自反性：a≤a;


反对称性：如果a≤b且b≤a，则有a=b;


传递性：如果a≤b且b≤c，则a≤c 。 





带有偏序关系的集合称为偏序集。


令(X,≤)是一个偏序集，对于集合中的两个元素a、b，如果有a≤b或者b≤a，则称a和b是可比的，否则a和b不可比。





在X中，对于元素a，如果任意元素b，由b≤a得出b=a，则称a为极小元。


一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。


一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。








下面是两个重要定理：


定理1 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令r是其最大链的大小。则X可以被划分成r个但不能再少的反链。


其对偶定理称为Dilworth定理：


定理2 令（X,≤）是一个有限偏序集，并令m是反链的最大的大小。则X可以被划分成m个但不能再少的链。





虽然这两个定理内容相似，但第一个定理证明要简单一些。此处就只证明定理1。


证明：设p为最少反链个数


(1)先证明X不能划分成小于r个反链。由于r是最大链C的大小，C中任两个元素都可比，因此C中任两个元素都不能属于同一反链。所以p>=r。


(2)设X1＝X，A1是X1中的极小元的集合。从X1中删除A1得到X2。注意到对于X2中任意元素a2，必存在X1中的元素a1，使得a1<=a2。令A2是X2中极小元的集合，从X2中删除A2得到X3……最终，会有一个Xk非空而X(k+1)为空。于是A1,A2,...,Ak就是X的反链的划分，同时存在链a1<=a2<=...<=ak，其中ai在Ai内。由于r是最长链大小，因此r>=k。由于X被划分成了k个反链，因此r>=k>=p。因此r=p，定理1得证。





回过头来看导弹拦截第二问。我们定义偏序关系≤：a≤b表示a出现不迟于b且a的值不小于b的值。这个偏序集的最长反链即最长上升子序列，它的不上升子序列是偏序集的链。由Dilworth定理可知，不上升子序列的最小划分数＝最长上升子序列的长度。





p.s. 这里的贪心方法是，每次选出所有的在它前面没有大于或等于它的数作为一组。其实我们每次选的是偏序集的最小元，因此我们最终得到的答案就是上面的k。由r<=p及r>=k>=p可以得到r=k=p，因此贪心正确。








参考资料：《Introductory Combinatorics》Fourth Edition,Richard A. Brualdi








练习题目:1677(hdu): Nested Dolls