二分匹配,最大流,匈牙利图形解释及证明

 

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很明显，对于算法的证明过程的理解有助于算法本身的理解。

关于二分图，算法的流程在这篇blog里讲的很清楚，很多算法都结合了图形，所以讲讲得很易懂，推荐一下

http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html

在这里还是主要关注一下关于这些问题的一些定理的证明的理解。（更详细的内容可以参考<<图论及其算法>>王树禾著）

一.匈牙利算法的证明：

关于二分匹配，涉及到了一些定理(Berge, Hall ,Konig, Tutte)：这里主要论述定理1，因为它对匈牙利算法的证明

最有用。

定理1：（Berge 1957）M是最大匹配的充要条件是G中无M的可增广轨(关于增广轨可以参考上面那个blog里的说明)。

定理2：如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。

利用定理2，可以对匈牙利算法进行改进，避免点的重复搜索，而定理2的证明实际上与1使用了同样的思想。

定理1证明：

必要性：如果M是最大匹配，则G中无M的可增广轨。

假设M存在一条增广轨，显然如果把增广轨上的边取反(即把在匹配里的边删除，不在匹配里的边加入匹配)，根据增广路的性质，很明显得到的这个新的匹配会比原来的匹配大。

充分性：G中无M的可增广轨，则M是最大匹配。

假设M不是最大匹配，则说明存在比M更大的一个匹配M",则取H ={M并M" - M交M"},则H里，顶点的度不是1就是2.不存在度为0的顶点。则H的连通片，或者是M"与M中的边交替出现的一个偶圈，或者是M"与M中的边交替出现的一条轨。又因为|M"| > |M|,必有H的某个连通片是轨，且此轨是M"的边为终止边（实际上包含起边和终边），于是得到了M的可增广轨，与M中无增广轨矛盾。

下面用图说明：

 

观察图中，设M是黑色边代表，的匹配，M"是绿色的那些。H ={M并M" - M交M"},实际是是用它们的并集，去除交集，实际上就是集合中对称差的概念。得到如下，H

 

可以发现，图中有两个连通片，{1，6，2，7，3} {4，8}，其实这是最明显的情况，因为{4，8}只含有来自M"的边，明显的可以成为M的一条可增广轨。增广轨实际上对长度并没有要求，只是要求首尾不在匹配中，中间的匹配不匹配的边交替出现，并且不匹配的在两边，这样只要保证可以使匹配数增长就可以了。比如上面的4-8就是一条增广轨。

比如下面这种情况：

1 ——2

3 ——4

第一次，我们找到了1-2，下一次找增广轨，实际上3-4就是相对于匹配1-2的一条增广轨。            

上面文字证明是这个意思，只要有一个连通片成为轨就可以了，而且因为M"比M多一条边，保证了这样的连通片是必然存在的。

因为我们可以发现，H的连通片中，必然是M和M"的边交替出现的，交替出现就保证了大多数连通片里M和M"的边的个数是相等的，但是又因为M"比M多一条边，如果所有的连通片都是交替出现且M和M"的边的个数是相等的，那么显然M"和M边应该一样多，所以比然至少有一个连通片里在M"中的边必M中的边多一个。

假设M"中的边用1表示，M中的用0表示，则必然是下面这个形式的序列：

1(就是上文中的{4,8}这种情况), 10101,即首尾必然是1，否则如1010,这个1和0的个数相等。而这样的形式1010101刚好就是我们的增广轨的定义。又它是独立的连通片，显然不应该与其他连通片相连。

 下面证明定理2：

假设我们对点A进行了两次，增广，第一次没有找到增广路，第二次找到了。下面需要证明这样是矛盾的，因为如果第二次可以找到，那么在第一次找时就应该找到了。

前面说过了实际上这个定理利用了1，或者它们证明的方法完全是一样的，我们可以用在第一次增广A时的那个匹配替换上面的M，而第二次增广A之后得到的那个匹配集显然就是上面的M"。两者的区别就在现在那个增广轨的位置已经确定了，因为这里的A点首先他必然不在M中，但是第二次从A处找到了一条增广轨，所以它必然的被加入了M"中，这也就意味着定理1证明中苦苦寻觅的那个增广轨在这里变成了确定的，就是从A开始的，也就是说实际上在第1次增广A时就应该找到这条增广轨了，于是矛盾。

匈牙利算法的一些处理技巧：

1. 

对于增广路径还可以用一个递归的方法来描述。这个描述不一定最准确，但是它揭示了寻找增广路径的一般方法：
“从点A出发的增广路径”一定首先连向一个在原匹配中没有与点A配对的点B。如果点B在原匹配中没有与任何点配对，则它就是这条增广路径的终点；反之，如果点B已与点C配对，那么这条增广路径就是从A到B，再从B到C，再加上“从点C出发的增广路径”。并且，这条从C出发的增广路径中不能与前半部分的增广路径有重复的点。

2.

如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。
有了这个定理，匈牙利算法就成形了。如下：

初始时最大匹配为空 for 二分图左半边的每个点i     do 从点i出发寻找增广路径。如果找到，则把它取反（即增加了总了匹配数）。

 二.二分匹配的与最大流的相互靠拢

下面看最大流与二分匹配的关系，如图所示：

 

 如图1，第一次寻找增广路时，找到的是图中的绿色路线，则得到图2的剩余网络，然后在寻找增广路时，得到了图3的红色路线。

观察这两次路线S-1-3-T  S-2-3-1-4-T
如果对应到匈牙利算法，实际上第一次我们找到了1-3这条增广路，然后继续寻找实际上寻找到了2-3-1-4这条增广路。
很明显的，最大流发现的路径实际上就是匈牙利发现的增广路径，因为最大流发现的从S到T的可达路里，具有以下特点，比如是从S-T-S-T-S这样的属性，我们假设在二分图左边的那些点具有属性S，右侧才那列具有属性T，而可以从T-S则必然是那些曾经被走过的边，也就是匈牙利算法里那些以匹配的边，在这里它们达到了一致。