三分·三分求极值

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描述

这一次我们就简单一点了，题目在此：

在直角坐标系中有一条抛物线y=ax^2+bx+c和一个点P(x,y)，求点P到抛物线的最短距离d。

 

提示：三分法

在之前的几周中我们了解到二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。
但当函数是凸形函数时，二分法就无法适用，这时就需要用到三分法。
从三分法的名字中我们可以猜到，三分法是对于需要逼近的区间做三等分：

我们发现lm这个点比rm要低，那么我们要找的最小点一定在[left,rm]之间。如果最低点在[rm,right]之间，就会出现在rm左右都有比他低的点，这显然是不可能的。 同理，当rm比lm低时，最低点一定在[lm,right]的区间内。
利用这个性质，我们就可以在缩小区间的同时向目标点逼近，从而得到极值。

接下来我们回到题目上，抛物线和点之间的距离可以简单的用直线公式计算：
即d = min{sqrt((X - x)^2+(aX^2+bX+c-y)^2)}
该公式展开后为4次，需要采用求导等方法来求极值。对于计算机编程来说是很麻烦的一件事。

进一步观察题目，我们可以发现根据带入的X值不同，d的长度恰好满足凸形函数。
而我们要求的最短距离d，正好就是这个凸形函数的极值。
那么三分法不就正好可以用来解决这道题目了么？

需要注意在解题过程中一定要想清楚如何划分区间，我们求的各个变量到底是什么含义。
另外，这道题还有一个小小的trick，在解决的时候请一定要小心。

输入

第1行：5个整数a,b,c,x,y。前三个数构成抛物线的参数，后两个数x,y表示P点坐标。-200≤a,b,c,x,y≤200

输出

第1行：1个实数d，保留3位小数(四舍五入)

样例输入

2 8 2 -2 6

样例输出

2.437

 1 #include <iostream>

 2 #include <math.h>

 3 using namespace::std;

 4 int a;

 5 double Xp,Yp;

 6 const double precision=1E-6;

 7 

 8 inline double d(double x)

 9 {

10     return sqrt((Xp-x)*(Xp-x) + (Yp-a*x*x)*(Yp-a*x*x));

11 }

12 

13 

14 int main(int argc, const char* argv[])

15 {

16     int b,c;

17     int X0,Y0;

18     cin>>a>>b>>c>>X0>>Y0;

19     double D;

20     if (a==0) {

21         D=fabs(1.*(b*X0-Y0+c)/sqrt(b*b+1));

22     }else{

23         double Xc=-1.*b/(2*a);

24         double Yc=c-1.*b*b/(4*a);

25         Xp=X0-Xc;

26         Yp=Y0-Yc;

27         double x1,x2;

28         if (a<0){

29             a=-a;

30             Yp=-Yp;

31         }

32         if (Xp<0)Xp=-Xp;

33         if (Yp<0) {

34             x1=0.;

35             x2=Xp;

36         }else{

37             x1=Xp;

38             x2=sqrt(Yp/a);

39             if (x1>x2)swap(x1, x2);

40         }

41         double lmx,rmx,lm,rm;

42         while (fabs(d(x2)-d(x1))>precision) {

43             lmx=x1+1./3*(x2-x1);

44             lm=d(lmx);

45             rmx=x1+2./3*(x2-x1);

46             rm=d(rmx);

47             if (lm<rm){

48                 x2=rmx;

49             }else{

50                 x1=lmx;

51             }

52             

53         }

54         D=d((x1+x2)/2);

55     }

56     printf("%.3lf\n",D);

57     return 0;

58 }

以前只知道怎么求零点，求函数极值一般是求导后求零点。

现在大开眼界三分法可以求凸函数的极值，想想以后可能会学到巧妙方法求鞍点之类的问题就兴奋不已。

好像没什么可说的，后面计算某些参数要除以a，所以a判断是不是零很重要，如果是a==0的话就用点到直线的距离公式就可以了。

不是零的话就把整个体系变到第一象限去，这样方便点。关于区间的选择(x1,x2)暂时没想到更好的办法，就是代码中的笨办法。

要保留3位小数，当时precision=1E-4的时候d通过不了，后来索性就改到1e-6了，个人比较喜欢6这个数字。