P5663 [CSP-J2019] 加工零件

闲话：

因某wsx248老师强迫建议而写的 第一篇博客
有错误恳请指正

题面：

[CSP-J2019] 加工零件

题目描述

凯凯的工厂正在有条不紊地生产一种神奇的零件，神奇的零件的生产过程自然也很神奇。工厂里有 $n$ 位工人，工人们从 $1\sim n$ 编号。某些工人之间存在双向的零件传送带。保证每两名工人之间最多只存在一条传送带。

如果 $x$ 号工人想生产一个被加工到第 $L(L>1)$ 阶段的零件，则所有与 $x$ 号工人有传送带直接相连的工人，都需要生产一个被加工到第 $L-1$ 阶段的零件（但 $x$ 号工人自己无需生产第 $L-1$ 阶段的零件）。

如果 $x$ 号工人想生产一个被加工到第 $1$ 阶段的零件，则所有与 $x$ 号工人有传送带直接相连的工人，都需要为 $x$ 号工人提供一个原材料。

轩轩是 $1$ 号工人。现在给出 $q$ 张工单，第 $i$ 张工单表示编号为 $a_i$ 的工人想生产一个第 $L_i$ 阶段的零件。轩轩想知道对于每张工单，他是否需要给别人提供原材料。他知道聪明的你一定可以帮他计算出来！

输入格式

第一行三个正整数 $n$，$m$ 和 $q$，分别表示工人的数目、传送带的数目和工单的数目。

接下来 $m$ 行，每行两个正整数 $u$ 和 $v$，表示编号为 $u$ 和 $v$ 的工人之间存在一条零件传输带。保证 $u\ne v$。

接下来 $q$ 行，每行两个正整数 $a$ 和 $L$，表示编号为 $a$ 的工人想生产一个第 $L$ 阶段的零件。

输出格式

共 $q$ 行，每行一个字符串 Yes 或者 No。如果按照第 $i$ 张工单生产，需要编号为 1 的轩轩提供原材料，则在第 $i$ 行输出 Yes；否则在第 $i$ 行输出 No。注意输出不含引号。

样例 #1

样例输入 #1

3 2 6
1 2
2 3
1 1
2 1
3 1
1 2
2 2
3 2

样例输出 #1

No
Yes
No
Yes
No
Yes

样例 #2

样例输入 #2

5 5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5

样例输出 #2

No
Yes
No
Yes
Yes

提示

样例 1 说明

编号为 1 的工人想生产第 1 阶段的零件，需要编号为 2 的工人提供原材料。

编号为 2 的工人想生产第 1 阶段的零件，需要编号为 1 和 3 的工人提供原材料。

编号为 3 的工人想生产第 1 阶段的零件，需要编号为 2 的工人提供原材料。

编号为 1 的工人想生产第 2 阶段的零件，需要编号为 2 的工人生产第 1 阶段的零 件，需要编号为 1 和 3 的工人提供原材料。

编号为 2 的工人想生产第 2 阶段的零件，需要编号为 1 和 3 的工人生产第 1 阶段的零件，他/她们都需要编号为 2 的工人提供原材料。

编号为 3 的工人想生产第 2 阶段的零件，需要编号为 2 的工人生产第 1 阶段的零件，需要编号为 1 和 3 的工人提供原材料。

样例 2 说明

编号为 1 的工人想生产第 1 阶段的零件，需要编号为 2 和 5 的工人提供原材料。

编号为 1 的工人想生产第 2 阶段的零件，需要编号为 2 和 5 的工人生产第 1 阶段的零件，需要编号为 1,3,4 的工人提供原材料。

编号为 1 的工人想生产第 3 阶段的零件，需要编号为 2 和 5 的工人生产第 2 阶段的零件，需要编号为 1,3,4 的工人生产第 1 阶段的零件，需要编号为 2,3,4,5 的工人提供原材料。

编号为 1 的工人想生产第 4 阶段的零件，需要编号为 2 和 5 的工人生产第 3 阶段的零件，需要编号为 1,3,4 的工人生产第 2 阶段的零件，需要编号为 2,3,4,5 的工人生产第 1 阶段的零件，需要全部工人提供原材料。

编号为 1 的工人想生产第 5 阶段的零件，需要编号为 2 和 5 的工人生产第 4 阶段的零件，需要编号为 1,3,4 的工人生产第 3 阶段的零件，需要编号为 2,3,4,5 的工人生产第 2 阶段的零件，需要全部工人生产第 1 阶段的零件，需要全部工人提供原材料。

数据规模与约定

共 $20$ 个测试点。

对所有测试点保证 $1\le u,v,a\le n$。

测试点 $1\sim 4$，$1\le n,m\le 1000$，$q=3$，$L=1$。

测试点 $5\sim 8$，$1\le n,m\le 1000$，$q=3$，$1\le L\le 10$。

测试点 $9\sim 12$，$1\le n,m,L\le 1000$，$1\le q\le 100$。

测试点 $13\sim 16$，$1\le n,m,L\le 1000$，$1\le q\le 10^5$。

测试点 $17\sim 20$，$1\le n,m,q\le 10^5$，$1\le L\le 10^9$。

sol:

一道比较容易 想到的题，可我竟然想了好久看了好久的题解 才稍微明白了。

首先根据题目可以得出简化题意：n个点，m条边，从ai号点出发，设当前点的将要做的零件为L，周围有边直接相连的点会做上L-1阶段的零件，以此类推。q次询问，求1号点是否需要做0阶段的零件。（$1\le n,m,q\le 10^5$，$1\le L\le 10^9$）

那么显然的事实：由于每个点的可以做的零件种类不唯一，所以可以反复在一条双向边上传来传去（也就是假设X点与Y点相连，X要做Z阶段的零件，那Y就要做z-1,z-3,z-5…的零件，X就要做Z,Z-2,Z-4,Z-6…的零件）。

就可以得出ai点（至少）会做L,L-2,L-4,L-6,L-8…等阶段零件，旁边的点至少做L-1，L-3，L-5，L-7…等阶段零件。
将问题转化为是否存在一条从ai到1（是不是和其他的题解从1开始搜索不太一样，主要是为了引出为什么想到从1开始bfs，可以看q2)，长度为L的路径（可以走重复边，点），所以可以先思考如果保证L为偶数（或奇数）时怎样判定为Yes还是No。
可以做从ai到1的长度为偶数的最短路，以确保1号点有零件做。如果他有零件做，那么是不是可能会做到原材料 。
当长度为奇数时，同理可得。
那么有几个问题
q1.如何求长度为奇数和偶数的最短路？

ans1:如果单独求奇数或偶数的最短路，不太好思考。但是两个都求出来，长度为奇数就可以由长度为偶数的转移过来，偶数就可以由长度为奇数的转移过来（因为边权全为一）。若还不太懂可以看看代码。

q2:每次都从ai到1做一遍bfs,时间复杂度不会爆吗？

ans2:由于求出最短路只会用到到1的值，又因为是双向边，就可以等价于从1到所有的点做bfs，后面有点ai用就行了，就达到了预处理O(n),查询O(1)。

q3：代码中不需要处理不连通的特殊情况吗？

ans3:之所以不用特殊处理不连通的情况，是因为若不连通，dis的值会是0x3f3f3f3f（无穷大）。

code:

#include 
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while('0'<=ch&&ch<='9'){
		w=w*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return w*f;
}
const int N=1e5+15;
int n,m,q,dis[N][2];//dis[i][0]为从1到i的偶数最短路，dis[i][1]为从1到i的奇数最短路。
vector <int> e[N];
struct Point{
	int p,w,z;//p是当前点，w是从1到当前点的最小距离，z是奇偶性质 （当z==0时为偶，当 z==1是为奇） 
};
void bfs(){
	queue <Point> q;
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	q.push(Point{1,0,0});
	dis[1][0]=0;
	while(!q.empty()){
		Point now=q.front();
		q.pop();
		int len=e[now.p].size(),w=now.w;
		for(int i = 0 ; i<len ; i++){
			int to=e[now.p][i];
			if(dis[now.p][now.z]+1<dis[to][now.z^1]){//运用^,将0改成1,1改成0.
				dis[to][now.z^1]=dis[now.p][now.z]+1;
				q.push({to,dis[to][now.z^1],now.z^1});
			}
		}
	}
}//之所以不用特殊处理不连通的情况，是因为若不连通，dis的值会是0x3f3f3f3f（无穷大）
int main(){
	n=read(),m=read(),q=read();
	for(int i = 1 ; i<=m ; i++){
		int u=read(),v=read();
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
	bfs();
	for(int i = 1 ; i<=q ; i++){
		int a=read(),L=read();
		if(L>=dis[a][L&1]){
			puts("Yes");
		}
		else{
			puts("No");
		}
	}
	return 0;
}

如果有其他问题，可以@或私信我，会尽量回答的。