回归分析系列6-多层次回归

08 多层次回归

8.1 简介

多层次模型（也称为分层模型或混合效应模型）用于处理具有层次结构的数据。它们允许在回归模型中同时考虑多个层次（如学校中的学生、不同时间点的个体等）的影响，并且能处理组内和组间的变异性。

在多层次回归中，模型通常包括固定效应和随机效应。固定效应表示全局效应，适用于所有组，而随机效应表示特定组的偏差。

8.2 多层次模型的示例

考虑一个教育数据集，其中有来自多个学校的学生成绩数据。我们的目标是建立一个模型，预测学生的成绩，同时考虑学校的影响。我们可以使用多层次回归模型来同时估计学生和学校的影响。

在scikit-learn中，多层次模型的实现相对有限，我们可以借助statsmodels或pymer4库来进行多层次回归分析。不过，在这次转换中，我们会主要使用scikit-learn来近似构建模型。

8.3 构建多层次回归模型

我们可以通过创建包含固定效应和随机效应的特征矩阵来模拟多层次模型。假设我们有一个简单的模型，其中包括学生的个体特征和学校的特定影响。

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder

# 生成模拟数据
np.random.seed(42)
n_schools = 10
n_students = 100
school_ids = np.random.randint(1, n_schools + 1, n_students)
student_scores = 50 + school_ids * 5 + np.random.randn(n_students) * 10

# 将学校ID转化为哑变量以模拟随机效应
encoder = OneHotEncoder(sparse=False)
school_effects = encoder.fit_transform(school_ids.reshape(-1, 1))

# 创建特征矩阵（假设学生只有一个特征：学校）
X = school_effects
y = student_scores

# 拆分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 构建线性回归模型
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 计算均方误差
from sklearn.metrics import mean_squared_error
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"Mean Squared Error: {mse:.2f}")

8.4 解释模型结果

在多层次模型中，解释结果时需要考虑固定效应和随机效应的贡献。在上述例子中，每个学校的影响可以看作是随机效应，而学生的成绩预测则由固定效应和这些随机效应共同决定。

# 输出模型参数
print(f"Model coefficients: {model.coef_}")

这里的系数表示各学校对学生成绩的影响。由于我们使用了一组哑变量来表示学校，这些系数可以被解释为每个学校对学生成绩的额外贡献。

8.5 模型的优缺点

多层次回归模型能够处理数据中的层次结构，并且允许在同一模型中估计多个层次的效应。然而，多层次模型的估计和解释通常比较复杂，尤其是在数据层次较多或效应较复杂的情况下。使用这些模型时，还需要注意可能存在的多重共线性问题。