【线性代数】几种行/列向量相乘的情况讨论

【线性代数】几种行/列向量相乘的情况讨论

向量的定义

由 $n$ 个数组成的有序数组叫做 $n维向量$ ，例如
$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n{)}^T，被成为列向量$$
或
$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,...a_n)，被成为行向量$$

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向量相乘的情况讨论

假设有列向量 $\alpha$ 和 $\beta$
$$\alpha =[a_1,a_2,a_3{]}^T$$

$$\beta =[b_1,b_2,b_3{]}^T$$

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列向量 $\times$ 行向量

α α T = [ a 1 a 2 a 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 1 a 2 2 a 2 a 3 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 2 ] \mathbf{\alpha \alpha^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {a_1}^2&a_1a_2&a_1a_3\\ a_2a_1&a_2^2&a_2a_3\\ a_3a_1&a_3a_2&a_3^2 \end{bmatrix} ααT= ​a1​a2​a3​​ ​[a1​​a2​​a3​​]= ​a1​2a2​a1​a3​a1​​a1​a2​a22​a3​a2​​a1​a3​a2​a3​a32​​ ​

α β T = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ] \mathbf{\alpha \beta^T}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_1b_2&a_1b_3\\ a_2b_1&a_2b_2&a_2b_3\\ a_3b_1&a_3b_2&a_3b_3 \end{bmatrix} αβT= ​a1​a2​a3​​ ​[b1​​b2​​b3​​]= ​a1​b1​a2​b1​a3​b1​​a1​b2​a2​b2​a3​b2​​a1​b3​a2​b3​a3​b3​​ ​

β α T = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 ] \mathbf{\beta \alpha^T}=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1b_1&a_2b_1&a_3b_1\\ a_1b_2&a_2b_2&a_3b_2\\ a_1b_3&a_2b_3&a_3b_3 \end{bmatrix} βαT= ​b1​b2​b3​​ ​[a1​​a2​​a3​​]= ​a1​b1​a1​b2​a1​b3​​a2​b1​a2​b2​a2​b3​​a3​b1​a3​b2​a3​b3​​ ​

• 通过观察以上三个式子可知，$n$ 维列向量乘上 $n$ 维行向量，结果是一个 $n\times n$矩阵

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行向量 $\times$ 列向量

α T α = [ a 1 a 2 a 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 \mathbf{\alpha^T \alpha}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1^2+a_2^2+a_3^2 αTα=[a1​​a2​​a3​​] ​a1​a2​a3​​ ​=a12​+a22​+a32​

α T β = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\alpha^T \beta}= \begin{bmatrix} a_1&a_2&a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 αTβ=[a1​​a2​​a3​​] ​b1​b2​b3​​ ​=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​

β T α = [ b 1 b 2 b 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \mathbf{\beta^T \alpha}=\begin{bmatrix} b_1&b_2&b_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 βTα=[b1​​b2​​b3​​] ​a1​a2​a3​​ ​=a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​

• 通过观察以上三个式子可知，$n$ 维行向量乘上 $n$ 维列向量，结果是一个 数