实变函数精解【13】

集与点集

基础

• $A=A^{\circ }，A是开集，A^C是闭集$
• $A=\bar{A}，A是闭集，有界闭集为紧集，无孤立点的闭集为完备集。$
• $若\bar{A}=R^n，则称A为稠集，或说A在R^n中稠密$
• $若B\subset \bar{A},则A在B中稠密,\forall b\in B,\forall r>0，有B_r(b)\cap A\ne \varnothing$
• $若(\bar{A}{)}^{\circ }=\varnothing ,则称A为疏集。$
• $$\begin{gathered} 任意个开集的并及有限个开集的交是开集， \\ 任意个闭集的交及有限个闭集的并是闭集。 \end{gathered}$$
• $可数个开集的交称为G_{\delta }型集，可数个闭集的并称为F_{\delta }型集$
• $R中任一个非空开集G是可数个互不相交的开区间之并。$
• $$\begin{gathered} 若F\subset R是闭集，且F\ne R， \\ 则F是从R上挖去可数个互不相交的开区间后所得之集， \\ 被挖去的区间称为F的余区间。 \\ 当余区间相互没有公共端点时，F是完备集， \\ 若F是紧集，则F是从一闭区间内挖去可数个互不相交的开区间后所得之集。 \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} n维开方体,与R上开区间相对应 \\ \prod (a_i,b_i)=\{(x_1,x_2,...,x_n）：a_i<x_i<b_i(1\le i\le n)\} \end{gathered}$$
• $R^n中任一个非空开集G可表为可数个互不相交的n维半开立方体之并。$

勒贝格测度

基础

• $设E是直线上的点集，则$
  $$\begin{gathered} m^{\ast }(E)=inf\{{\Sigma }_{k=1}^{\infty }(b_k-a_k):E\subset {\cup }_{k=1}^{\infty }[a_k,bk)\} \\ 称为E的勒贝格外测度 \\ 实质为取一切可能覆盖E的左闭右开区间族，求出每族区间的长度之和， \\ 再取由此构成的数集的下确界。 \end{gathered}$$

勒贝格外测度（Lebesgue outer measure）基础概念

是勒贝格测度的基础概念，是测度论中的一个核心工具。勒贝格外测度的定义涉及到在实数集（或更高维空间）中对集合大小的精确度量。它用于定义一个集合的“长度”，并能够处理非常复杂和不规则的集合。

1. 勒贝格外测度的定义

给定一个集合$E\subseteq {\mathbb{R}}^n$，它的勒贝格外测度$m^{\ast }(E)$定义为：

$$m^{\ast }(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|I_i|:E\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i\right\}$$

其中，$\{I_i\}$ 是一系列开矩形（在${\mathbb{R}}^1$ 中是开区间）的覆盖，$|I_i|$ 表示开矩形$I_i$$
的体积（在${\mathbb{R}}^1$$ 中是区间的长度），而“inf”表示这些和的下确界。

2. 勒贝格外测度的基本性质

勒贝格外测度$m^{\ast }(E)$ 具有以下几个关键性质：

• 非负性: 对于任何集合$E\subseteq {\mathbb{R}}^n$，勒贝格外测度$m^{\ast }(E)\ge 0$。

• 空集的外测度为零:$m^{\ast }(\varnothing )=0$。

• 单调性: 如果$A\subseteq B$$，则$m^(A) \leq m^(B)$。

• 次可加性: 对于任意一列集合$E_1,E_2,\dots$，勒贝格外测度满足次可加性： $$m^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\infty }{m}^{\ast }(E_i)。$$

• 平移不变性: 对于任意集合$E\subseteq {\mathbb{R}}^n$$ 和任意向量$x\in {\mathbb{R}}^n$，勒贝格外测度是平移不变的，即$m^{\ast }(E+x)=m^{\ast }(E)$。

3. 勒贝格外测度与勒贝格测度

勒贝格外测度提供了一个标准，用以决定某个集合是否可以被测度化。集合$E$$ 被称为勒贝格可测的，如果对于任意集合$A\subseteq {\mathbb{R}}^n$，满足： $$m^{\ast }(A)=m^{\ast }(A\cap E)+m^{\ast }(A\cap E^c)$$ 其中$E^c$ 是$E$ 的补集。如果集合$E$
是勒贝格可测的，那么勒贝格外测度$m^{\ast }(E)$ 就是它的勒贝格测度$m(E)$。

4. 计算例子

考虑一个简单例子，实数轴$\mathbb{R}$$ 上的一个区间$I=[a,b]$。区间$I$ 的勒贝格外测度等于区间的长度，即： $$m^{\ast }([a,b])=b-a。$$

对于更复杂的集合，如Cantor集，虽然它的勒贝格外测度为零，但它包含无穷多个点，反映了勒贝格外测度在处理复杂集合时的独特性。

勒贝格外测度的例子

1. 单点集： 对于单点集 $A=\{a\}$，勒贝格外测度 $m^{\ast }(A)$ 是 0。原因是可以用任意小的区间覆盖单点集 $\{a\}$，例如 $I_n=[a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}]$，当$n$ 趋近于无穷大时，$|I_n|=\frac{2}{n}$趋近于0。因此，$m^{\ast }(A)=0$。

2. 区间： 对于区间$A=[a,b]$，勒贝格外测度 $m^{\ast }(A)$ 是 $b-a$。这是因为对于任意覆盖$\{I_i\}$，总的长度和至少是$b-a$，且可以选择$I_1=[a,b]$本身作为覆盖，使得总的长度和就是 $b-a$。

3. 康托尔集： 康托尔集是一个经典的无法用有限个区间覆盖的非空集。其勒贝格外测度为 0，尽管康托尔集包含无穷多个点。由于康托尔集是通过连续地从区间中移除中间三分之一的闭区间构造的，可以证明其最终的总长度趋于 0。

例题

例题 1：计算集合 $A=[0,1]\cup [2,3]$ 的勒贝格外测度。

解答：

1. 集合 $A$ 是两个不相交区间的并集。
2. 第一个区间 $[0,1]$的长度为 1，第二个区间$[2,3]$ 的长度为 1。
3. 因此，勒贝格外测度为两个区间长度的和： $$m^{\ast }(A)=1+1=2$$

例题 2：证明实数集$\mathbb{R}$的勒贝格外测度是无穷大。

解答：

1. 假设 $\mathbb{R}$有有限的勒贝格外测度，则可以找到一个有限的总长度覆盖$\mathbb{R}$。
2. 但 $\mathbb{R}$包含任意大的区间，因此，任何有限的总长度都不能覆盖整个实数集。
3. 所以，勒贝格外测度 $m^{\ast }(\mathbb{R})=\infty$。

这些例子和例题展示了勒贝格外测度的基本计算和性质。如果你有更多特定的例子或问题，我很乐意进一步帮助解释或解答。

让我们通过几个例子和例题来更好地理解勒贝格外测度的概念。

例子 1: 单个区间的勒贝格外测度

考虑实数轴上的一个闭区间 $[a,b]$，其中 $a<b$。我们计算这个区间的勒贝格外测度 $m^{\ast }([a,b])$。

根据勒贝格外测度的定义： $$m^{\ast }([a,b])=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|I_i|:[a,b]\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i\right\}$$

事实上，区间 $[a,b]$可以由自身覆盖，因此我们可以选择唯一的开区间 $I=(a,b)$，其长度为 $|I|=b-a$。因此，勒贝格外测度为： $m^{\ast }([a,b])=b-a$

例子 2: 闭区间与单点集

考虑闭区间 $[0,1]$和单点集 $\{0\}$。闭区间 $[0,1]$的勒贝格外测度如上所述为 1。单点集 $\{0\}$的勒贝格外测度是多少？

直观上，我们知道一个单点的“长度”为零。事实上，任何覆盖单点 $\{0\}$的开区间都可以使得它的长度无限接近于零。因此，
$$m^{\ast }(\{0\})=0$$

例题 1: Cantor 集的勒贝格外测度

Cantor 集 $C$是 $[0,1]$区间中的一个著名的例子。它是通过从区间 $[0,1]$中反复删除中间三分之一的部分而构造的。Cantor 集包含无穷多个点，但它的勒贝格外测度是多少呢？

解答: 我们可以利用 Cantor 集的构造过程来计算其勒贝格外测度。Cantor 集是通过移除中间三分之一的区间而得到的，移除的总长度为： $$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n}{3^{n+1}}=1$$

由于整个区间 $[0,1]$的勒贝格外测度是 1，而 Cantor 集是通过移除所有这些中间区间后的剩余部分，它的勒贝格外测度为： $$m^{\ast }(C)=1-1=0$$

例题 2: 两个不相交区间的勒贝格外测度

考虑两个不相交的闭区间 $[a_1,b_1]$和 $[a_2,b_2]$，其中 $b_1<a_2$。求其并集的勒贝格外测度 $m^{\ast }([a_1,b_1]\cup [a_2,b_2])$。

解答: 由于这两个区间是不相交的，因此我们可以利用勒贝格外测度的有限可加性： $$m^{\ast }([a_1,b_1]\cup [a_2,b_2])=m^{\ast }([a_1,b_1])+m^{\ast }([a_2,b_2])$$ $$m^{\ast }([a_1,b_1]\cup [a_2,b_2])=(b_1-a_1)+(b_2-a_2)$$

例题 3: 不可数集的勒贝格外测度

设 $E$是区间 $[0,1]$中的一个不可数集合。例如，考虑 $[0,1]$中所有实数的集合。求 $E$的勒贝格外测度 $m^{\ast }(E)$。

解答: 虽然集合 $E$是不可数的，并且它是区间 $[0,1]$的子集，但这并不意味着它的勒贝格外测度为 0。由于 $E$可能覆盖了区间 $[0,1]$的大部分甚至全部，因此 $E$的勒贝格外测度可能为 1。

特别地，当 $E=[0,1]$时，勒贝格外测度 $m^{\ast }(E)=1$。

这些例子和例题展示了勒贝格外测度如何应用于不同类型的集合。如果你有其他特定类型的例题或想要进一步探讨，请告诉我！

外测度的性质

外测度是测度论中的一个重要概念，它具有一系列关键的性质。以下是外测度的主要性质：

1. 非负性

• 定义：对于任意集合E，其外测度m*(E)都是非负的，即m*(E) ≥ 0。特别地，当E为空集时，其外测度为0，即m*(∅) = 0。

2. 单调性

• 定义：如果集合A是集合B的子集（A ⊆ B），那么A的外测度不会超过B的外测度，即m*(A) ≤ m*(B)。这一性质体现了外测度随集合的增大而增大（或不变）的趋势。

3. 次可数可加性

• 定义：对于可数个两两不相交的集合{A_n}，其并集的外测度不大于这些集合外测度的和，即m*(∪A_n) ≤ ∑m*(A_n)。注意，这里使用的是“次可数可加性”，与完全的可数可加性有所不同。完全的可数可加性是测度的一个重要性质，但外测度并不总是满足这一性质。

4. 下确界性质

• 定义：外测度的定义本身涉及到一个下确界的概念。具体来说，对于任意集合E，其外测度m*(E)是覆盖E的所有可能开区间列的体积总和的下确界。这一性质体现了外测度在度量集合大小时的精确性和经济性。

5. 与可测集的关系

• 定义：外测度与可测集之间有着密切的联系。一个集合如果同时满足内测度和外测度相等（在勒贝格测度的定义下），则称该集合为可测的。此外，可测集还满足Carathéodory条件，即对于任意集合T和可测集E，都有$m\ast (T)=m\ast (T\cap E)+m\ast (T\cap E^c)$，其中$E^c$是$E$的补集。

6. 零测集

• 定义：外测度为0的集合称为零测集。零测集是可测的，因为对于任意集合T，都有$m\ast (T\cap A)+m\ast (T\cap A^c)=m\ast (T)$（其中A是零测集），这满足可测集的定义。

7. 与σ代数的关系

• 定义：σ代数是一组集合的集合，它对可数并、可数交和补运算封闭。在σ代数上定义的测度（包括外测度）通常具有更好的性质，如可数可加性等。然而，外测度并不总是满足可数可加性，但它在σ代数上可能具有更接近测度的性质。

综上所述，外测度具有非负性、单调性、次可数可加性、下确界性质以及与可测集、零测集和σ代数的密切关系等性质。这些性质使得外测度在测度论和实分析中具有重要的地位和应用价值。

勒贝格积分

是现代数学中积分理论的一个重要组成部分，它是对黎曼积分的推广和一般化。以下将详细解说勒贝格积分的定义、原理、性质、计算、例子和例题。

一、定义

勒贝格积分是在勒贝格测度论的基础上建立起来的，它允许在更广泛的函数类和集合上进行积分运算。具体来说，勒贝格积分定义在可测集上，对于非负可测函数，其积分值是通过一系列非负简单函数的积分来逼近的。对于一般可测函数，可以通过将其分解为正部和负部来定义其勒贝格积分。

二、原理

勒贝格积分的原理基于勒贝格测度论，它通过将函数值与其定义域上相应测度的乘积进行“累加”（实际上是取极限）来定义积分。这种累加方式比黎曼积分的矩形逼近更为精细和一般，能够处理更加复杂的函数和集合。

三、性质

勒贝格积分具有许多优良的性质，包括但不限于：

1. 线性性：勒贝格积分对线性运算（加法和数乘）是封闭的，即满足${\int }_E(af+bg)d\mu =a{\int }_{E}fd\mu +b{\int }_{E}gd\mu$，其中$a,b$是常数，$f,g$是可积函数。
2. 单调性：如果$f\le g$，则${\int }_{E}fd\mu \le {\int }_{E}gd\mu$。
3. 绝对可积性：如果$f$是可积的，那么$|f|$也是可积的，且 ∣ ∫ E f   d μ ∣ ≤ ∫ E ∣ f ∣   d μ \left|\int_E f \, d\mu\right| \leq \int_E |f| \, d\mu ​∫E​fdμ ​≤∫E​∣f∣dμ。
4. 控制收敛定理：如果$f_n\to f$逐点且被某个可积函数$g$控制（即$|f_n|\le g$），则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_E{f}_{n}d\mu ={\int }_{E}fd\mu$。

四、计算

勒贝格积分的计算通常涉及以下几个步骤：

1. 确定函数的可积性：首先需要判断函数是否在给定集合上是勒贝格可积的。
2. 分解函数：对于一般可测函数，可以将其分解为正部和负部，即$f=f^{+}-f^{-}$，其中$f^{+}=\max (f,0)$，$f^{-}=\max (-f,0)$。
3. 分别计算正部和负部的积分：由于正部和负部都是非负函数，可以利用非负函数的勒贝格积分定义来计算它们的积分。
4. 求和：最后，将正部和负部的积分值相减，得到原函数的勒贝格积分。

五、例子

考虑狄利克雷函数（Dirichlet function），它定义为： $$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }x\text{ 是有理数}\\ 0,& \text{如果 }x\text{ 是无理数}\end{array}$$

这个函数在黎曼积分下是不可积的，但在勒贝格积分下是可积的，且其积分为0。这是因为有理数集在实数集中是零测度的，所以无论函数在有理数集上取何值，其勒贝格积分都为0。

六、例题

设函数$f(x)$是$E$上的可积函数，对于$E$上的任意可测子集$A$，有${\int }_{A}f(x)d\lambda =0$。我们需要证明$f(x)=0$，对$E$上的任意点$x$都成立。

证明：

1. 对于任意的正整数$n$，集合$E_n=\{x\in E\mid f(x)>\frac{1}{n}\}$是可测的。这是因为$f(x)$的值大于$\frac{1}{n}$的点必然落在某个开区间中，而开区间是可测的。
2. 由题设条件，对于任意的正整数$n$，我们有${\int }_{E_n}f(x)d\lambda =0$。
3. 当$n\to \infty$时，$E_n\to E$（因为$f(x)>\frac{1}{n}$的点越来越少，最终都落在了$E$中）。

参考文献

1.《实变函数》
2.文心一言，chatgpt