谢惠民数学分析习题课讲义13.2.5练习题参考答案(上)

谢惠民数学分析习题课讲义13.2.5练习题参考答案(上)

1. 由Stolz定理

2. 如果正项级数收敛，则加括号后的新级数可看作原级数的子列，当然也收敛：如果正项级数趋于正无穷，则因为单调性，可知加括号后的新级数作为原级数的子列也趋于正无穷.下证正项级数重排后不改变敛散性：
   
   设正项级数的第个部分和为且收敛于，重排后的级数的第个部分和为.易知对每个，都存在与其相等的.记
   
   则使得.由于,所以都有.即知重排后的级数收敛，且其和.但是另一方面，也可看做是由重排得到的，故也有.于是

3. 1. 当充分大时，，,因此

   2. 当时，,知原级数发散.

   3. 当时，知原级数收敛.

   4. 
      故原级数收敛.

   5. , 故原级数收敛

   6. 当时， 当时收敛，当时发散

   7. 当 时
      
      故当且仅当时原级数收敛

   8. 当 时
      
      故原级数发散

4. 特殊情况即.排除这种情况，记的部分和为。则因为发散，故存在 使得
   
   这可以推得
   
   与Cauchy收敛准则矛盾，故必发散

5. 1. , 发散，由Sapagof判别法知原数列收敛于0
   2. 发散由Sapagof判别法知原数列收敛于0
   3. 
      发散由Sapagof判别法知原数列收敛于0

6. 取

7. 由收敛可知,故,从而收敛

   注:正项级数的条件不可取，如当是可取反例