2021蓝桥杯杨辉三角形详细解答附代码

2021蓝桥杯杨辉三角形

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列： 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1…
给定一个正整数 N，请你输出数列中第一次出现 N 是在第几个数？

输入描述
输入一个整数 N。

输出描述
输出一个整数代表答案。
对于所有评测用例，1≤N≤1000000000。

分析

首先明确杨辉三角形中的第i行第j列的数为$C_i^j$(i从0开始，j也从0开始)
由于我们求整数N第一次出现的位置，那么该位置一定在杨辉三角形的左边一半。所以我们将杨辉三角形取左边一半

我们通过观察可以得知，在一行中，越往左数越小，在一列中，越往上数越小，并且一行中最大值一定是在中间，即第i行的最大值在第i/2列，我们通过excel计算得到
$C_{32}^{16}$<1000000000<$C_{33}^{16}$
那么所给数据的所在位置最大不会超过16列，所以我们从第16列开始，从右往左对行进行二分查找。
代码中要注意的有二分查找左端点初始化时必须是列数*2，因为左端点如果从0开始，有很多行是不存在我们正在循环的这一列的。

完整代码如下

#include 
using namespace std;
long long n;

long long  res(long long i,int j)   //函数计算第i行第j列数 
{
	long long  tn=1;
	for(long long  a=i,b=1;b<=j;a--,b++)
	{
		tn=a * tn / b;
		if(tn>n) return tn;
	 } 
	 return tn;
} 
int main()
{
  long long  result=0;
  cin>>n;
  for( int i=16;i>=0;i--)
  {
  long long l=i*2;
  long long r=n;
  long long mid=0;
	  
	  while(l<=r){	  
	  mid=l+(r-l)/2;
	  result=res(mid,i);
	  if(result==n) break;
	  else if(result>n) r=mid-1;
	  else l=mid+1;
}
  	if(result==n) 
  	{
  		long long re=mid*(mid+1)/2+i+1;
        cout<<re;
        break;
	  }
  }
  return 0;
}

excel中计算组合数和排列数方法，蓝桥杯考试中可用

计算组合
=COMBIN（）
计算排列
=PERMUT()

##结语
本题对杨辉三角的性质有比较深刻的应用
本人知识有限，如果各位发现有什么问题或者更好的解法，欢迎在评论区指正。