0-1 背包问题及其 Java 实现

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0-1 背包问题及其 Java 实现

概述

0-1 背包问题是动态规划领域的经典问题之一。在这个问题中，你给定一组物品，每个物品都有一个重量和一个价值，确定在不超过背包承载能力的前提下，如何选取物品以使得总价值最大化。

问题描述

假设有 n 个物品和一个容量为 W 的背包。第 i 个物品的重量为 weight[i]，价值为 value[i]。0-1 背包问题的目标是选择一些物品放入背包中，以使得背包中物品的总价值最大，且总重量不超过背包的承载能力。

动态规划解法

我们可以使用动态规划来解决这个问题。基本思想是为每个物品 i（1 ≤ i ≤ n）和每个可能的背包容量 w（0 ≤ w ≤ W），计算在前 i 个物品中选择若干个放入容量为 w 的背包中可以获得的最大价值 dp[i][w]。

状态转移方程

[
dp[i][w] = \max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])
]

• 如果不选择第 i 个物品，dp[i][w] 就等于 dp[i-1][w]。
• 如果选择第 i 个物品，且其重量为 weight[i]，那么 dp[i][w] 就等于 dp[i-1][w - weight[i]] + value[i]。

Java 实现

以下是 0-1 背包问题的 Java 代码实现：

public class Knapsack {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {10, 20, 30}; // 物品重量
        int[] value = {60, 100, 120}; // 物品价值
        int W = 50; // 背包容量
        int n = weight.length;

        int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int w = 1; w <= W; w++) {
                if (weight[i - 1] <= w) {
                    dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
                } else {
                    dp[i][w] = dp[i - 1][w];
                }
            }
        }

        System.out.println("最大价值为: " + dp[n][W]);
    }
}

代码解释

1. 我们定义了两个数组 weight 和 value 来存储物品的重量和价值。
2. 背包的容量存储在变量 W 中。
3. 创建一个二维数组 dp，其大小为 (n + 1) x (W + 1)，用于存储动态规划的结果。
4. 使用两层循环填充 dp 数组，外层循环遍历物品，内层循环遍历背包的所有可能容量。
5. 根据状态转移方程计算 dp[i][w] 的值。
6. 最终，dp[n][W] 存储了在不超过背包容量 W 的情况下，可以获得的最大价值。

结语

0-1 背包问题是理解动态规划思想的一个很好的例子。通过上述 Java 实现，我们可以有效地解决这个问题，并可以根据实际需求调整代码以适应不同的场景。

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