分数裂项方法及技巧

裂差

知识点 $1$

$$\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$$

证明：

$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{b-a}{ab}\\ =& \frac{b}{ab}-\frac{a}{ab}\\ =& \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\end{array}$$

好的各位，直接上题目（自信）！

例题 $1$

$$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}=?$$

嗯，不难，我们把每一项都使用裂项拆开，再抵消：
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{99\times 100}\\ =& (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\ =& 1-\frac{1}{100}\\ =& 0.99\end{array}$$

是不是非常简单？

习题 $1$

习题 $1$

$$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 8}+\frac{1}{8\times 16}+\cdots +\frac{1}{2^{99}\times 2^{100}}=?（结果保留幂次方）$$

知识点 $2$

叫做：万物皆可裂。
$$\frac{x}{ab}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{x}{b-a}$$
对的，只要分母可以写成两数之积，就一定可以裂差。
证明：先强制裂，然后调整。
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{x}{ab}\\ =& \frac{x}{b-a}\times \frac{b-a}{ab}\\ =& (\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\frac{x}{b-a}\end{array}$$

例题 $2$

来个简单的吧……
$$\frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+\cdots +\frac{2}{97\times 100}=?$$

嗯，不难，我们把每一项都使用强制裂项拆开，提取公因数，再抵消：
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{2}{1\times 4}+\frac{2}{4\times 7}+\frac{2}{7\times 10}+\cdots +\frac{2}{97\times 100}\\ =& \frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{4})+\frac{2}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{2}{3}(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\cdots +\frac{2}{3}(\frac{1}{97}-\frac{1}{100})\\ =& \frac{2}{3}(1-\frac{1}{100})\\ =& 0.66\end{array}$$

是不是非常简单？

习题

无

知识点 $3$

它其实不是标准的裂项……
$$\frac{c-a}{abc}=\frac{1}{ab}-\frac{1}{bc}$$
证明：留作一道思考题。
提示：和知识点 $1$ 的差不多。

例题 $3$

$$\frac{4}{1\times 3\times 5}+\frac{4}{3\times 5\times 7}+\frac{4}{5\times 7\times 9}+\cdots +\frac{4}{97\times 99\times 101}=?$$
解：拆开，抵消。
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{4}{1\times 3\times 5}+\frac{4}{3\times 5\times 7}+\frac{4}{5\times 7\times 9}+\cdots +\frac{4}{97\times 99\times 101}\\ =& (\frac{1}{1\times 3}-\frac{1}{3\times 5})+(\frac{1}{3\times 5}-\frac{1}{5\times 7})+(\frac{1}{5\times 7}-\frac{1}{7\times 9})+\cdots +(\frac{1}{97\times 99}-\frac{1}{99\times 101})\\ =& \frac{1}{3}-\frac{1}{9999}\\ =& \frac{3332}{9999}\end{array}$$

习题

我想到一道好题，但是需要用到后面的知识点，所以这里先不放了。

裂和

知识点 $1$

$$\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$
这么简单，大家一定都一下子掌握了吧，不过为了熟悉裂项的题型，我还是放几道题。

例题 $4$

$$\frac{1+2}{1\times 2}-\frac{2+3}{2\times 3}+\frac{3+4}{3\times 4}-\frac{4+5}{4\times 5}+\cdots +\frac{99+100}{99\times 100}=?$$
注意标红部分，是加减交替。
易错点：拆括号。
还有：这题的 $\text{LATEX}$ 好长 $\text{QaQ}$。
$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{1+2}{1\times 2}-\frac{2+3}{2\times 3}+\frac{3+4}{3\times 4}-\frac{4+5}{4\times 5}+\cdots +\frac{99+100}{99\times 100}\\ =& (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{99}+\frac{1}{100})\\ =& 1+(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{5})+\cdots -(\frac{1}{99}-\frac{1}{99})+\frac{1}{100}\\ =& 1+\frac{1}{100}\\ =& 1.01\end{array}$$

习题 $2$

$$\text{WARNING:前方高能}$$
$$\frac{3\times (1+2)-1\times (2+3)}{1\times 2\times 3}+\frac{5\times (3+4)-3\times (4+5)}{3\times 4\times 5}+\frac{7\times (5+6)-5\times (6+7)}{5\times 6\times 7}+\frac{9\times (7+8)-7\times (8+9)}{7\times 8\times 9}+\cdots +\frac{101\times (99+100)-99\times (100+101)}{99\times 100\times 101}=?$$

习题解答

习题 $1$

$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{4\times 8}+\frac{1}{8\times 16}+\cdots +\frac{1}{2^{99}\times 2^{100}}\\ =& (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{16})+\cdots +(\frac{1}{2^{99}}-\frac{1}{2^{100}})\\ =& 1-\frac{1}{2^{100}}\\ =& \frac{2^{100}-1}{2^{100}}\end{array}$$

习题 $2$

$$\begin{array}{rl}& \\ & \frac{3\times (1+2)-1\times (2+3)}{1\times 2\times 3}+\frac{5\times (3+4)-3\times (4+5)}{3\times 4\times 5}+\frac{7\times (5+6)-5\times (6+7)}{5\times 6\times 7}+\frac{9\times (7+8)-7\times (8+9)}{7\times 8\times 9}+\cdots +\frac{101\times (99+100)-99\times (100+101)}{99\times 100\times 101}\\ & \\ =& (\frac{1+2}{1\times 2}-\frac{2+3}{2\times 3})+(\frac{3+4}{3\times 4}-\frac{4+5}{4\times 5})+(\frac{5+6}{5\times 6}-\frac{6+7}{6\times 7})+(\frac{7+8}{7\times 8}-\frac{8+9}{8\times 9})+\cdots +(\frac{99+100}{99\times 100}-\frac{100+101}{100\times 101})\\ =& (1+\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6})-(\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{7}+\frac{1}{8})-(\frac{1}{8}+\frac{1}{9})+\cdots +(\frac{1}{99}+\frac{1}{100})-(\frac{1}{100}+\frac{1}{101})\\ =& 1+\frac{1}{101}=\frac{102}{101}\end{array}$$