poj 1286 Necklace of Beads 置换群polya计数

题目大意：

　　使用三种颜色珠子串成 一个n颗珠子的项链，项链旋转和翻转相同的视为同样方案，问有多少不同方案数

　　

　　对于 群论中置换群的计算公式我们有 BurnSide 和 Polya 

　　前者是找所有置换群，后者是找置换群循环因子，其两者公式也相差不远，因为 Polya计数 比较方便，所以通常使用 Polya公式

 

　　      其中 ei 为第 i 个置换，其循环因子数量

　　

　　对于 n 角/边对称图形， 其包括 旋转 和 反射

　　旋转顶点数量为 （ 0, 1, 2 ... n-1 )  ：          循环因子数量:  Gcd( n, i ) 

　　反射对于 偶数n 时，分为 n/2个顶点反射 与 n/2个边反射

　　　　　　　　顶点反射 循环因子数量：　　n/2+1

　　　　　　　　边反射     循环因子数量：　　n/2　　　　　　　　  

　　　　对于 奇数n 时， 仅有 n个 顶点+边 反射

　　　　　　　　顶点+边   循环因子数量：　　n/2+1

 

解题代码：

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#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

typedef long long LL;

LL a[30];

int n;



LL pow( LL x, int k ){

    if( k == 0 ) return 1;

    LL res = pow( x, k/2 );

    res = res*res;

    if( k&1 ) res *= x;

    return res;

}

int gcd(int a, int b)

{

    return ( b == 0 ) ? a : gcd( b , a%b );

}

int main(){

    while( scanf("%d", &n) != EOF )

    {

        if( !(~n)  ) break;

        if( n == 0 ) printf("0\n");

        else if( n == 1 ) printf("3\n");

        else

        {

            LL res = pow(3,n);    

            for(int i = 1; i < n; i++)

                res += pow(3, gcd(n,i) );

            if( n&1 )

                res += 1LL*(n)*( pow(3,n/2+1) );    

            else

                res += 1LL*(n/2)*( pow(3,n/2) + pow(3,n/2+1) );    

            res /= (n<<1);

            printf("%lld\n", res);

        }

    }    

    return 0;

}