MATLAB新手教程

MATLAB新手教程

1．MATLAB的基本知识

1-1、基本运算与函数

在MATLAB下进行基本数学运算，仅仅需将运算式直接打入提示号（>>）之後，并按入Enter键就可以。比如：

>> (5*2+1.3-0.8)*10/25

ans =4.2000

MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer）并显示其数值於萤幕上。

小提示： ">>"是MATLAB的提示符号（Prompt），但在PC中文视窗系统下，由於编码方式不同，此提示符号常会消失不见，但这并不会影响到MATLAB的运算结果。

我们也可将上述运算式的结果设定给还有一个变数x：

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25

x = 42

此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知，MATLAB认识全部一般经常使用到的加（+）、减（-）、乘（*）、除（/）的数学运算符号，以及幂次运算（^）。

小提示： MATLAB将全部变数均存成double的形式，所以不需经过变数宣告（Variabledeclaration）。MATLAB同一时候也会自己主动进行记忆体的使用和回收，而不必像C语言,必须由使用者一一指定.这些功能使的MATLAB易学易用，使用者可专心致力於撰写程式，而不必被软体枝节问题所干扰。

若不想让MATLAB每次都显示运算结果，仅仅需在运算式最後加上分号（；）就可以，例如以下例：

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);

若要显示变数y的值，直接键入y就可以：

>>y

y =-0.0045

在上例中，sin是正弦函数，exp是指数函数，这些都是MATLAB经常使用到的数学函数。

下表即为MATLAB经常使用的基本数学函数及三角函数：

小整理：MATLAB经常使用的基本数学函数

abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度

angle(z)：复数z的相角(Phase angle)

sqrt(x)：开平方

real(z)：复数z的实部

imag(z)：复数z的虚部

conj(z)：复数z的共轭复数

round(x)：四舍五入至近期整数

fix(x)：不管正负，舍去小数至近期整数

floor(x)：地板函数，即舍去正小数至近期整数

ceil(x)：天花板函数，即增加正小数至近期整数

rat(x)：将实数x化为分数表示

rats(x)：将实数x化为多项分数展开

sign(x)：符号函数 (Signum function)。

当x<0时，sign(x)=-1；

当x=0时，sign(x)=0;

当x>0时，sign(x)=1。

> 小整理：MATLAB经常使用的三角函数

sin(x)：正弦函数

cos(x)：馀弦函数

tan(x)：正切函数

asin(x)：反正弦函数

acos(x)：反馀弦函数

atan(x)：反正切函数

atan2(x,y)：四象限的反正切函数

sinh(x)：超越正弦函数

cosh(x)：超越馀弦函数

tanh(x)：超越正切函数

asinh(x)：反超越正弦函数

acosh(x)：反超越馀弦函数

atanh(x)：反超越正切函数

变数也可用来存放向量或矩阵，并进行各种运算，例如以下例的列向量（Row vector）运算：

x = [1 3 5 2];

y = 2*x+1

y = 3 7 11 5

小提示：变数命名的规则

1.第一个字母必须是英文字母 2.字母间不可留空格 3.最多仅仅能有19个字母，MATLAB会忽略多馀字母

我们能够任意更改、添加或删除向量的元素：

y(3) = 2 % 更改第三个元素

y =3 7 2 5

y(6) = 10 % 增加第六个元素

y = 3 7 2 5 0 10

y(4) = [] % 删除第四个元素，

y = 3 7 2 0 10

在上例中，MATLAB会忽略全部在百分比符号（%）之後的文字，因此百分比之後的文字均可视为程式的注解（Comments）。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算：

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算

ans = 9

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算

ans = 6 1 -1

在上例中，2:4代表一个由2、3、4组成的向量

若对MATLAB函数使用方法有疑问，可随时使用help来寻求线上支援（on-line help）：helplinspace

小整理：MATLAB的查询命令

help：用来查询已知命令的使用方法。比如已知inv是用来计算反矩阵，键入help inv就可以得知有关inv命令的使用方法。（键入help help则显示help的使用方法，请试看看！） lookfor：用来寻找未知的命令。比如要寻找计算反矩阵的命令，可键入 lookfor inverse，MATLAB即会列出全部和keywordinverse相关的指令。找到所需的命令後，就可以用help进一步找出其使用方法。（lookfor其实是对全部在搜寻路径下的M档案进行keyword对第一注解行的比对，详见後叙。）

将列向量转置（Transpose）後，就可以得到行向量（Column vector）：

z = x'

z = 4.0000

5.2000

6.4000

7.6000

8.8000

10.0000

不论是行向量或列向量，我们均可用同样的函数找出其元素个数、最大值、最小值等：

length(z) % z的元素个数

ans = 6

max(z) % z的最大值

ans = 10

min(z) % z的最小值

ans = 4

小整理：适用於向量的经常使用函数有：

min(x): 向量x的元素的最小值

max(x): 向量x的元素的最大值

mean(x): 向量x的元素的平均值

median(x): 向量x的元素的中位数

std(x): 向量x的元素的标准差

diff(x): 向量x的相邻元素的差

sort(x): 对向量x的元素进行排序（Sorting）

length(x): 向量x的元素个数

norm(x): 向量x的欧氏（Euclidean）长度

sum(x): 向量x的元素总和

prod(x): 向量x的元素总乘积

cumsum(x): 向量x的累计元素总和

cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积

dot(x, y): 向量x和y的内积

cross(x, y): 向量x和y的外积（大部份的向量函数也可适用於矩阵，详见下述。）

若要输入矩阵，则必须在每一列结尾加上分号（；），例如以下例：

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 1011 12];

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

相同地，我们能够对矩阵进行各种处理：

A(2,3) = 5 % 改变位於第二列，第三行的元素值

A =

1 2 3 4

5 6 5 8

9 10 11 12

B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B

B = 5 6 5

A = [A B'] % 将B转置後以行向量并入A

A =

1 2 3 4 5

5 6 5 8 6

9 10 11 12 5

A(:, 2) = [] % 删除第二行（：代表全部列）

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

A = [A; 4 3 2 1] % 增加第四列

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

4 3 2 1

A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列（：代表全部行）

A =

5 5 8 6

9 11 12 5

这几种矩阵处理的方式能够相互叠代运用，产生各种意想不到的效果，就看各位的巧思和创意。

小提示：在MATLAB的内部资料结构中,每个矩阵都是一个以行为主（Column-oriented ）的阵列（Array）因此对於矩阵元素的存取，我们可用一维或二维的索引（Index）来定址。举例来说，在上述矩阵A中，位於第二列、第三行的元素可写为A(2,3) （二维索引）或A(6)（一维索引，即将全部直行进行堆叠後的第六个元素）。

此外，若要又一次安排矩阵的形状，可用reshape命令：

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数，2是新矩阵的行数

B =

5 8

9 12

5 6

11 5

小提示： A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来，成为一个行向量，而这也是MATLAB变数的内部储存方式。曾经例而言，reshape(A, 8, 1)和A(:)相同都会产生一个8x1的矩阵。

MATLAB可在同一时候运行数个命令，仅仅要以逗号或分号将命令隔开：

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =

7.5000

若一个数学运算是太长，可用三个句点将其延伸到下一行：

z = 10*sin(pi/3)* ...

sin(pi/3);

若要检视现存於工作空间（Workspace）的变数，可键入who：

who

Your variables are:

testfile x

这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的具体资料，可键入：

whos

Name Size Bytes Class

A 2x4 64 double array

B 4x2 64 double array

ans 1x1 8 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

z 1x1 8 double array

Grand total is 20 elements using 160 bytes

使用clear能够删除工作空间的变数：

clear A

??? Undefined function or variable 'A'.

另外MATLAB有些永久常数（Permanent constants），尽管在工作空间中看不到，但使用者可直接取用，比如：

ans = 3.1416

下表即为MATLAB经常使用到的永久常数。

小整理：MATLAB的永久常数 i或j：基本虚数单位

eps：系统的浮点（Floating-point）准确度

inf：无限大，比如1/0 nan或NaN：非数值（Not a number），比如0/0

pi：圆周率 p（= 3.1415926...）

realmax：系统所能表示的最大数值

realmin：系统所能表示的最小数值

nargin: 函数的输入引数个数

nargin: 函数的输出引数个数

1-2、反复命令

最简单的反复命令是for圈（for-loop），其基本形式为：

for 变数 = 矩阵；

运算式；

end

当中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行，来运行介於for和end之间的运算式。因此,若无意外情况，运算式运行的次数会等於矩阵的行数。

举例来说，下列命令会产生一个长度为6的调和数列（Harmonic sequence）：

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

for i = 1:6,

x(i) = 1/i;

end

在上例中，矩阵x最初是一个16的零矩阵，在for圈中，变数i的值依次是1到6，因此矩阵x的第i个元素的值依次被设为1/i。我们可用分数来显示此数列：

format rat % 使用分数来表示数值

disp(x)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

for圈能够是多层的，下例产生一个16的Hilbert矩阵h，当中为於第i列、第j行的元素为

h = zeros(6);

for i = 1:6,

for j = 1:6,

h(i,j) = 1/(i+j-1);

end

disp(h)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11

小提示：预先配置矩阵在上面的样例，我们使用zeros来预先配置（Allocate）了一个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵，程式仍可运行，但此时MATLAB须要动态地添加（或减小）矩阵的大小，因而减少程式的运行效率。所以在使用一个矩阵时，若能在事前知道其大小，则最好先使用zeros或ones等命令来预先配置所需的记忆体（即矩阵）大小。

在下例中，for圈列出先前产生的Hilbert矩阵的每一行的平方和：

for i = h,

disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和

end

1299/871

282/551

650/2343

524/2933

559/4431

831/8801

在上例中，每一次i的值就是矩阵h的一行，所以写出来的命令特别简洁。

令一个经常使用到的反复命令是while圈，其基本形式为：

while 条件式；

运算式；

end

也就是说，仅仅要条件示成立，运算式就会一再被运行。比如先前产生调和数列的样例，我们可用while圈改写例如以下：

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

i = 1;

while i <= 6,

x(i) = 1/i;

i = i+1;

end

format short

1-3、逻辑命令

最简单的逻辑命令是if, ..., end，其基本形式为：

if 条件式；

运算式；

end

if rand(1,1) > 0.5,

disp('Given random number is greater than 0.5.');

end

Given random number is greater than 0.5.

1-4、集合多个命令於一个M档案

若要一次运行大量的MATLAB命令，可将这些命令存放於一个副档名为m的档案，并在 MATLAB提示号下键入此档案的主档名就可以。此种包括MATLAB命令的档案都以m为副档名，因此通称M档案（M-files）。比如一个名为test.m的M档案，包括一连串的MATLAB命令，那麽仅仅要直接键入test，就可以运行其所包括的命令：

pwd % 显示如今的文件夹

ans =

D:\MATLAB5\bin

cd c:\data\mlbook % 进入test.m所在的文件夹

type test.m % 显示test.m的内容

% This is my first test M-file.

% Roger Jang, March 3, 1997

fprintf('Start of test.m!\n');

for i = 1:3,

fprintf('i = %d ---> i^3 = %d\n', i, i^3);

end

fprintf('End of test.m!\n');

test % 运行test.m

Start of test.m!

i = 1 ---> i^3 = 1

i = 2 ---> i^3 = 8

i = 3 ---> i^3 = 27

End of test.m!

小提示：第一注解行（H1 help line） test.m的前两行是注解，能够使程式易於了解与管理。特别要说明的是，第一注解行通经常使用来简短说明此M档案的功能，以便lookfor能以keyword比对的方式来找出此M档案。举例来说，test.m的第一注解行包括test这个字，因此假设键入lookfor test，MATLAB就可以列出全部在第一注解行包括test的M档案，因而test.m也会被列名在内。

严格来说，M档案可再细分为命令集（Scripts）及函数（Functions）。前述的test.m即为命令集，其效用和将命令逐一输入全然一样，因此若在命令集能够直接使用工作空间的变数，并且在命令集中设定的变数，也都在工作空间中看得到。函数则须要用到输入引数（Input arguments）和输出引数（Output arguments）来传递资讯，这就像是C语言的函数,或是FORTRAN语言的副程序（Subroutines）。举例来说，若要计算一个正整数的阶乘（Factorial），我们能够写一个例如以下的MATLAB函数并将之存档於fact.m：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer.

output = 1;

for i = 1:n,

output = output*i;

end

当中fact是函数名，n是输入引数，output是输出引数，而i则是此函数用到的临时变数。要使用此函数，直接键入函数名及适当输入引数值就可以：

y = fact(5)

y = 120

（当然，在运行fact之前，你必须先进入fact.m所在的文件夹。）在运行fact(5)时，

MATLAB会跳入一个下层的临时工作空间（Temperary workspace），将变数n的值设定为5，然後进行各项函数的内部运算，全部内部运算所产生的变数（包括输入引数n、临时变数i，以及输出引数output）都存在此临时工作空间中。运算完成後，MATLAB会将最後输出引数output的值设定给上层的变数y，并将清除此临时工作空间及其所含的全部变数。换句话说，在呼叫函数时，你仅仅能经由输入引数来控制函数的输入，经由输出引数来得到函数的输出，但全部的临时变数都会随着函数的结束而消失，你并无法得到它们的值。

小提示：有关阶乘函数前面（及後面）用到的阶乘函数仅仅是纯粹用来说明MATLAB的函数观念。若实际要计算一个正整数n的阶乘（即n!）时，可直接写成prod(1:n)，或是直接呼叫gamma函数：gamma(n-1)。

MATLAB的函数也能够是递式的（Recursive），也就是说，一个函数能够呼叫它本身。

举例来说，n! = n*(n-1)!，因此前面的阶乘函数能够改成递式的写法：

function output = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integerrecursively.

if n == 1, % Terminating condition

output = 1;

return;

end

output = n*fact(n-1);

在写一个递函数时，一定要包括结束条件（Terminating condition），否则此函数将会一再呼叫自己，永远不会停止，直到电脑的记忆体被耗尽为止。以上例而言，n==1即满足结束条件，此时我们直接将output设为1，而不再呼叫此函数本身。

1-5、搜寻路径

在前一节中，test.m所在的文件夹是d:\mlbook。假设不先进入这个文件夹，MATLAB就找不到你要运行的M档案。假设希望MATLAB不论在何处都能运行test.m，那麽就必须将d:\mlbook增加MATLAB的搜寻路径（Search path）上。要检视MATLAB的搜寻路径，键入path就可以：

path

MATLABPATH

d:\matlab5\toolbox\matlab\general

d:\matlab5\toolbox\matlab\ops

d:\matlab5\toolbox\matlab\lang

d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat

d:\matlab5\toolbox\matlab\elfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\specfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\matfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datafun

d:\matlab5\toolbox\matlab\polyfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\funfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\sparfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph2d

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph3d

d:\matlab5\toolbox\matlab\specgraph

d:\matlab5\toolbox\matlab\graphics

d:\matlab5\toolbox\matlab\uitools

d:\matlab5\toolbox\matlab\strfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\iofun

d:\matlab5\toolbox\matlab\timefun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datatypes

d:\matlab5\toolbox\matlab\dde

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos

d:\matlab5\toolbox\tour

d:\matlab5\toolbox\simulink\simulink

d:\matlab5\toolbox\simulink\blocks

d:\matlab5\toolbox\simulink\simdemos

d:\matlab5\toolbox\simulink\dee

d:\matlab5\toolbox\local

此搜寻路径会依已安装的工具箱（Toolboxes）不同而有所不同。要查询某一命令是在搜寻路径的何处，可用which命令：

which expo

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos\expo.m

非常显然c:\data\mlbook并不在MATLAB的搜寻路径中，因此MATLAB找不到test.m这个M档案：

which test

c:\data\mlbook\test.m

要将d:\mlbook增加MATLAB的搜寻路径，还是使用path命令：

path(path, 'c:\data\mlbook');

此时d:\mlbook已增加MATLAB搜寻路径（键入path试看看），因此MATLAB已经"看"得到

test.m:

which test

c:\data\mlbook\test.m

如今我们就能够直接键入test，而不必先进入test.m所在的文件夹。

小提示：怎样在其启动MATLAB时，自己主动设定所需的搜寻路径？假设在每一次启动MATLAB後都要设定所需的搜寻路径，将是一件非常麻烦的事。有两种方法，能够使MATLAB启动後，就可以加载使用者定义的搜寻路径：

1.MATLAB的预设搜寻路径是定义在matlabrc.m（在c:\matlab之下，或是其它安装MATLAB 的主文件夹下），MATLAB每次启动後，即自己主动运行此档案。因此你能够直接改动matlabrc.m ，以增加新的文件夹於搜寻路径之中。

2.MATLAB在运行matlabrc.m时，同一时候也会在预设搜寻路径中寻找startup.m，若此档案存在，则运行其所含的命令。因此我们可将全部在MATLAB启动时必须运行的命令（包括更改搜寻路径的命令），放在此档案中。

每次MATLAB遇到一个命令（比如test）时，其处置程序为：

1.将test视为使用者定义的变数。

2.若test不是使用者定义的变数，将其视为永久常数。

3.若test不是永久常数，检查其是否为眼下工作文件夹下的M档案。

4.若不是，则由搜寻路径寻找是否有test.m的档案。

5.若在搜寻路径中找不到，则MATLAB会发出哔哔声并印出错误讯息。

下面介绍与MATLAB搜寻路径相关的各项命令。

1-6、资料的储存与加载

有些计算旷日废时，那麽我们通常希望能将计算所得的储存在档案中，以便将来可进行其它处理。MATLAB储存变数的基本命令是save，在不加不论什么选项（Options）时，save会将变数以二进制（Binary）的方式储存至副档名为mat的档案，例如以下述：

save：将工作空间的全部变数储存到名为matlab.mat的二进制档案。

save filename：将工作空间的全部变数储存到名为filename.mat的二进制档案。 save filename x y z ：将变数x、y、z储存到名为filename.mat的二进制档案。

下面为使用save命令的一个简例：

who % 列出工作空间的变数

Your variables are:

B h j y

ans i x z

save test B y % 将变数B与y储存至test.mat

dir % 列出如今文件夹中的档案

. 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m ~$1basic.doc

.. 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat

1basic.doc book.dot go.m template.doc testfile.dat

delete test.mat % 删除test.mat

以二进制的方式储存变数，通常档案会比較小，并且在加载时速度较快，可是就无法用普通的文书软体（比如pe2或记事本）看到档案内容。若想看到档案内容，则必须加上-ascii选项，详见下述：

save filename x -ascii：将变数x以八位数存到名为filename的ASCII档案。

Save filename x -ascii -double：将变数x以十六位数存到名为filename的ASCII档案。

还有一个选项是-tab，可将同一列相邻的数目以定位键（Tab）隔开。

小提示：二进制和ASCII档案的比較在save命令使用-ascii选项後，会有下列现象:save命令就不会在档案名称後加上mat的副档名。

因此以副档名mat结尾的档案一般是MATLAB的二进位资料档。

若非有特殊须要，我们应该尽量以二进制方式储存资料。

load命令可将档案加载以取得储存之变数：

load filename：load会寻找名称为filename.mat的档案，并以二进制格式加载。若找不到filename.mat，则寻找名称为filename的档案，并以ASCII格式加载。load filename-ascii：load会寻找名称为filename的档案，并以ASCII格式加载。

若以ASCII格式加载，则变数名称即为档案名称（但不包括副档名）。若以二进制加载，则可保留原有的变数名称，例如以下例：

clear all; % 清除工作空间中的变数

x = 1:10;

save testfile.dat x -ascii % 将x以ASCII格式存至名为testfile.dat的档案

load testfile.dat % 加载testfile.dat

who % 列出工作空间中的变数

Your variables are:

testfile x

注意在上述过程中，由於是以ASCII格式储存与加载，所以产生了一个与档案名称同样的变数testfile，此变数的值和原变数x全然同样。

1-7、结束MATLAB

有三种方法能够结束MATLAB：

1.键入exit

2.键入quit

3.直接关闭MATLAB的命令视窗（Command window）

2．数值分析

2．1微分

diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：

diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值

diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值

diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值

diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值

数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，假设引数为向量则运行数值微分，假设引数为符号表示式则运行符号微分。

先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项：

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';

>>diff(S1)

ans=18*x^2-8*x+b

>>diff(S1,2)

ans= 36*x-8

>>diff(S1,'b')

ans= x

>>diff(S2)

ans=

cos(a)

>>diff(S3)

ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3

>>simplify(diff(S3))

ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2

2．2积分

int函数用以演算一函数的积分项，这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。假设积

分式的解析式(analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个：

int(f) 传回f对预设独立变数的积分值

int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值

int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式

int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式

int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式

我们示范几个样例：

>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5';

>>S2 = 'sin(a)';

>>S3 = 'sqrt(x)';

>>int(S1)

ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x

>>int(S2)

ans= -cos(a)

>>int(S3)

ans= 2/3*x^(3/2)

>>int(S3,'a','b')

ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2)

>>int(S3,0.5,0.6)

ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2)

>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数能够计算积分的数值

ans= 0.0741

2．3求解常微分方程式

MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，当中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y'　D2y代表二阶微分项y''　，

condition则为初始条件。

如果有下面三个一阶常微分方程式和其初始条件

y'=3x2, y(2)=0.5

y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25

y'=3y+exp(2x), y(0)=3

相应上述常微分方程式的符号运算式为：

>>soln_1 = dsolve('Dy =3*x^2','y(2)=0.5')

ans= x^3-7.500000000000000

>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相

>>soln_2 = dsolve('Dy =2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')

ans= atan(x^2+1)

>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y +exp(2*x)',' y(0) = 3')

ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)

2．4非线性方程式的实根

要求任一方程式的根有三步骤：

先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，比如一方程式为sin(x)=3，

则该方程式应表示为f(x)=sin(x)-3。能够 m-file 定义方程式。

代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。

由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0)就可以求出在 x0附近的根，当中 function 是先前已定义的函数名称。假设从函数分布图看出根不仅仅一个，则须再代入还有一个在根附近的 x0，再求出下一个根。

下面分别介绍几数个方程式，来说明怎样求解它们的根。

例一、方程式为

sin(x)=0

我们知道上式的根有，求根方式例如以下：

>> r=fzero('sin',3) % 由于sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根

r=3.1416

>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根

r = 6.2832

例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不需要知道这个方程式的形态为何，只是我们能够将它划出来，再找出根的位置。求根方式例如以下：

>> x=linspace(-2,3);

>> y=humps(x);

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根

>> r=fzero('humps',1.2)

r = 1.2995

例三、方程式为y=x.^3-2*x-5

这个方程式事实上是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也能够用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式例如以下：

% m-function, f_1.m

function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数

y=x.^3-2*x-5;

>> x=linspace(-2,3);

>> y=f_1(x);

>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根

MATLAB新手教程

>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根

r = 2.0946

>> p=[1 0 -2 -5]

>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证

r =

2.0946

-1.0473 + 1.1359i

-1.0473 - 1.1359i

2．5线性代数方程（组）求解

我们习惯将上组方程式以矩阵方式表演示样例如以下

AX=B

当中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

要解上述的联立方程式，我们能够利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。

假设将原方程式改写成 XA=B

当中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项

注意上式的 X, B 已改写成列向量，A事实上是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 能够矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。

若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。

我们直接以以下的样例来说明这三个运算的使用方法：

>> A=[3 2-1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入

>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置

>> X=A\B % 先以左除运算求解

X = % 注意X为行向量

-2

>> C=A*X % 验算解是否正确

C = % C=B

-1

>> A=A'; % 将A先做转置

>> B=[10 5 -1];

>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同

X = % 注意X为列向量

10 5 -1

>> X=B*inv(A); % 也能够反矩阵运算求解

3.基本xy平面画图命令

MATLAB不但擅长於矩阵相关的数值运算，也适合用在各种科学目视表示（Scientificvisualization）。

本节将介绍MATLAB基本xy平面及xyz空间的各项画图命令，包括一维曲线及二维曲面的绘制、列印及存档。

plot是绘制一维曲线的基本函数，但在使用此函数之前，我们需先定义曲线上每一点的x 及y座标。

下例可画出一条正弦曲线：

close all;

x=linspace(0, 2*pi, 100); % 100个点的x座标

y=sin(x); % 相应的y座标

plot(x,y);

小整理：MATLAB基本画图函数

plot: x轴和y轴均为线性刻度（Linear scale）

loglog: x轴和y轴均为对数刻度（Logarithmic scale）

semilogx: x轴为对数刻度，y轴为线性刻度

semilogy: x轴为线性刻度，y轴为对数刻度

若要画出多条曲线，仅仅需将座标对依次放入plot函数就可以：

plot(x, sin(x), x, cos(x));

MATLAB新手教程

若要改变颜色，在座标对後面加上相关字串就可以：

plot(x, sin(x), 'c', x, cos(x), 'g');

MATLAB新手教程

若要同一时候改变颜色及图线型态（Line style），也是在座标对後面加上相关字串就可以：

plot(x, sin(x), 'co', x, cos(x), 'g*');

小整理：plot画图函数的叁数字元颜色字元图线型态y 黄色. 点k 黑色o 圆w 白色x xb 蓝色+ +g 绿色* *r 红色- 实线c 亮青色: 点线m 锰紫色-. 点虚线-- 虚线

图形完毕後，我们可用axis([xmin,xmax,ymin,ymax])函数来调整图轴的范围：

axis([0, 6, -1.2, 1.2]);

此外，MATLAB也可对图形加上各种注解与处理：

xlabel('Input Value'); % x轴注解

ylabel('Function Value'); % y轴注解

title('Two Trigonometric Functions'); % 图形标题

legend('y = sin(x)','y = cos(x)'); % 图形注解

grid on; % 显示格线

MATLAB新手教程

我们可用subplot来同一时候画出数个小图形於同一个视窗之中：

subplot(2,2,1); plot(x, sin(x));

subplot(2,2,2); plot(x, cos(x));

subplot(2,2,3); plot(x, sinh(x));

subplot(2,2,4); plot(x, cosh(x));

MATLAB新手教程

MATLAB还有其它各种二维画图函数，以适合不同的应用，详见下表。

小整理：其它各种二维画图函数

bar 长条图

errorbar 图形加上误差范围

fplot 较精确的函数图形

polar 极座标图

hist 累计图

rose 极座标累计图

stairs 阶梯图

stem 针状图

fill 实心图

feather 羽毛图

compass 罗盘图

quiver 向量场图

下面我们针对每一个函数举例。

当资料点数量不多时，长条图是非常适合的表示方式：

close all; % 关闭全部的图形视窗

x=1:10;

y=rand(size(x));

bar(x,y);

假设已知资料的误差量，就可用errorbar来表示。下例以单位标准差来做资的误差量：

x = linspace(0,2*pi,30);

y = sin(x);

e = std(y)*ones(size(x));

errorbar(x,y,e)

对於变化剧烈的函数，可用fplot来进行较精确的画图，会对剧烈变化处进行较密集的取样，例如以下例：

fplot('sin(1/x)', [0.02 0.2]); % [0.02 0.2]是画图范围

MATLAB新手教程

若要产生极座标图形，可用polar：

theta=linspace(0, 2*pi);

r=cos(4*theta);

polar(theta, r);

对於大量的资料，我们可用hist来显示资料的分　情况和统计特性。以下几个命令可用来验证randn产生的高斯乱数分　：

x=randn(5000, 1); % 产生5000个 m=0，s=1 的高斯乱数

hist(x,20); % 20代表长条的个数

rose和hist非常接近，仅仅只是是将资料大小视为角度，资料个数视为距离，并用极座标绘制

表示：

x=randn(1000, 1);

rose(x);

MATLAB新手教程

stairs可画出阶梯图：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

stairs(x,y);

MATLAB新手教程

stems可产生针状图，常被用来绘制数位讯号：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

stem(x,y);

stairs将资料点视为多边行顶点，并将此多边行涂上颜色：

x=linspace(0,10,50);

y=sin(x).*exp(-x/3);

fill(x,y,'b'); % 'b'为蓝色

feather将每个资料点视复数，并以箭号画出：

theta=linspace(0, 2*pi, 20);

z = cos(theta)+i*sin(theta);

feather(z);

MATLAB新手教程

compass和feather非常接近，仅仅是每一个箭号的起点都在圆点：

theta=linspace(0, 2*pi, 20);

z = cos(theta)+i*sin(theta);

compass(z);

MATLAB新手教程

4．基本XYZ立体画图命令

在科学目视表示（Scientific visualization）中，三度空间的立体图是一个很重要的技巧。本章将介绍MATLAB基本XYZ三度空间的各项画图命令。

mesh和plot是三度空间立体画图的基本命令，mesh可画出立体网状图，plot则可画出立体曲面图，两者产生的图形都会依高度而有不同颜色。

下列命令可画出由函数<图片>形成的立体网状图:

x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点

y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点

[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩阵

zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 计算函数值，zz也是21x21的矩阵

mesh(xx, yy, zz); % 画出立体网状图

surf和mesh的使用方法类似：

x=linspace(-2, 2, 25); % 在x轴上取25点

y=linspace(-2, 2, 25); % 在y轴上取25点

[xx,yy]=meshgrid(x, y); % xx和yy都是21x21的矩阵

zz=xx.*exp(-xx.^2-yy.^2); % 计算函数值，zz也是21x21的矩阵

surf(xx, yy, zz); % 画出立体曲面图

MATLAB新手教程

为了方便測试立体画图，MATLAB提供了一个peaks函数，可产生一个凹凸有致的曲面，包括了三个局部极大点及三个局部极小点

要画出此函数的最快方法即是直接键入peaks：

peaks

z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)

我们亦可对peaks函数取点，再以各种不同方法进行画图。

meshz可将曲面加上围裙：

[x,y,z]=peaks;

meshz(x,y,z);