数据结构——第六章 图
[知识框架]
主要掌握深度优先搜索和广度优先搜索，图的基本概念及基本性质、图的存储结构（邻接矩阵、邻接表、邻接多重表和十字链表）及其特性、存储结构之间的转化、基于存储结构上的遍历操作和各种应用（拓扑排序、最小生成树、最短路径和关键路径）等。通常要求掌握基本思想和实现步骤（手动模拟）。
6.1 图的基本概念
6.1.1 图的定义
图 G G G 由顶点集 V V V 和边集 E E E 组成，记为 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 。
其中 V ( G ) V(G) V(G) 表示图 G G G 中顶点的有限非空集;
E ( G ) E(G) E(G) 表示图 G G G 中顶点之间的关系（边）集合。
若 V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } V=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} V={ v1,v2,⋯,vn}, 则用 表 ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 示图 G G G 中顶点的个 数，也称图 G G G 的阶，
E = { ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V } E=\{(u, v) \mid u \in V, v \in V\} E={ (u,v)∣u∈V,v∈V}, 用 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 表示图 G G G 中边的条数。
注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不能是空图。图中不能一个顶点也没有，图的顶点集V一定非空，但边集E可以为空，此时图中只有顶点没有边。
- 有向图
若 E E E 是有向边（也称弧）的有限集合时，则图 G G G 为有向图。
弧是顶点的有序对，记为 < v , w >
图 ( a ) (\mathrm{a}) (a) 所示的有向图 G 1 G_{1} G1 可表示为
G 1 = ( V 1 , E 1 ) V 1 = { 1 , 2 , 3 } E 1 = { < 1 , 2 > , < 2 , 1 > , < 2 , 3 > } \begin{array}{c} G_{1}=\left(V_{1}, E_{1}\right) \\ V_{1}=\{1,2,3\} \\ E_{1}=\{<1,2>,<2,1>,<2,3>\} \end{array} G1=(V1,E1)V1={ 1,2,3}E1={ <1,2>,<2,1>,<2,3>}
- 无向图
若 E E E 是无向边（简称边）的有限集合时，则图 G G G 为无向图。
边是顶点的无序对，记为 ( v , w ) (v, w) (v,w) 或 ( w , v ) (w, v) (w,v), 因为 ( v , w ) = ( w , v ) (v, w)=(w, v) (v,w)=(w,v), 其中 v , w v, w v,w 是顶点。
可以说顶点 w w w 和顶点 v v v 互为邻接点。边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 依附于顶点 w w w 和 v v v ，或者说边 ( v , w ) (v, w) (v,w) 和顶点 v , w v, w v,w 相关联。
图 ( b ) (\mathrm{~b}) ( b) 所示的无向图 G 2 G_{2} G2 可表示为
G 2 = ( V 2 , E 2 ) V 2 = { 1 , 2 , 3 , 4 } E 2 = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) } \begin{array}{c} G_{2}=\left(V_{2}, E_{2}\right) \\ V_{2}=\{1,2,3,4\} \\ E_{2}=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\} \end{array} G2=(V2,E2)V2={ 1,2,3,4}E2={ (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}
有向边用<>表示，无向边用（）表示。
- 简单图
一个图 G G G 若满足:
(1) 不存在重复边;
(2) 不存在顶点到自身的边，则称图 G G G 为简单图。
图中 G 1 G_{1} G1 和 G 2 G_{2} G2 均为简单图。数据结构中仅讨论简单图。
- 多重图
若图 G G G 中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则 G G G 为多重图。多重图的定义和简单图是相对的。
- 完全图（也称简单完全图）
对于无向图， ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 的取值范围是 0 到 n ( n − 1 ) / 2 n(n-1) / 2 n(n−1)/2, 有 n ( n − 1 ) / 2 n(n-1) / 2 n(n−1)/2 条边的无向图称为完全图，在完全图中任意两个顶点之间都存在边。
对于有向图， ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 的取值范围是 0 到 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1), 有 n ( n − 1 ) n(n-1) n(n−1) 条弧 的有向图称为有向完全图，在有向完全图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。图中 G 2 为无向完全图，而 G 3 G2{\text {为无向完全图，而 }} G{3} G2为无向完全图，而 G3 为有向完全图。
- 子图
设有两个图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 和 G ′ = ( V ′ , E ′ ) G^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right) G′=(V′,E′), 若 V ′ V^{\prime} V′ 是 V V V 的子集，且 E ′ E^{\prime} E′ 是 E E E 的子集，则称 G ′ G^{\prime} G′ 是 G G G 的子图。
若有满足 V ( G ′ ) = V ( G ) V\left(G^{\prime}\right)=V(G) V(G′)=V(G) 的子图 G ′ G^{\prime} G′, 则称其为 G G G 的生成子图。图中 G 3 G_{3} G3 为 G 1 G_{1} G1 的子图。
注意: 并非 V V V 和 E E E 的任何子集都能构成 G G G 的子图， 因为这样的子集可能不是图，即 E E E 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 V V V 的子集中。
- 连通、连通图和连通分量
在无向图中，若从顶点 v v v 到顶点 w w w 有路径存在，则称 v v v 和 w w w 是连通的。
若图 G G G 中任意两个顶点都是连通的，则称图 G G G 为连通图，否则称为非连通图。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
若一个图有 n n n 个顶点，并且边数小于 n − 1 n-1 n−1, 则此图必是非连通图。如图 (a)所示，图 G 4 G_{4} G4 有 3 个连通分量，如图 (b)所示。
连通分量强调：
- 要是子图。
- 子图要是连通的。
- 连通子图含有极大顶点树。
- 具有极大顶点树的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。
注意: 极大连通子图是无向图的连通分量，极大即要求该连通子图包含其所有的边;
极小连通子图是既要保持图连通又要使得边数最少的子图。
- 强连通图、强连通分量
在有向图中，若从顶点 v v v 到顶点 w w w 和从顶点 w w w 到顶点 v v v 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。
若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。
有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量，图 G 1 G_{1} G1 的强连通分量如图所示。
注意：强连通图、强连通分量只是针对有向图而言的。一般在无向图中讨论连通性，在有向图中考虑强连通性。
- 生成树、生成森林
**连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。**若图中顶点数为 n n n, 则它的生成树含有 n − 1 n-1 n−1 条边。
对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
在非连通图中, 连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。图 G 2 G_{2} G2 的一个生成树：
注意：包含无向图中全部顶点的极小连通子图，只有生成树满足条件，因为砍去生成树的任一条边，图将不再连通。
- 顶点的度、入度和出度
图中每个顶点的度定义为以该顶点为一个端点的边的数目。
对于无向图，顶点 v v v 的度是指依附于该顶点的边的条数，记为 T D ( v ) \mathrm{TD}(v) TD(v) 。 在
具有 n n n 个顶点、 e e e 条边的无向图中， ∑ i = 1 n T D ( v i ) = 2 e \sum_{i=1}^{n} \mathrm{TD}\left(v_{i}\right)=2 e ∑i=1nTD(vi)=2e,
即无向图的全部顶点的度的和等于边数的 2 倍，因为每条边和两个顶点相关联。
对于有向图, 顶点 v v v 的度分为入度和出度,
入度是以顶点 v v v 为终点的有向边的数目,记为 I D ( v ) ; \mathrm{ID}(v) ; ID(v);
而出度是以顶点 v v v 为起点的有向边的数目，记为 O D ( v ) \mathrm{OD}(v) OD(v) 。
顶点 v v v 的度等于其入度和出度之和，即 T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) \mathrm{TD}(v)=\mathrm{ID}(v)+\mathrm{OD}(v) TD(v)=ID(v)+OD(v)
在具有 n n n 个顶点、 e e e 条边的有向图中， ∑ i = 1 n I D ( v i ) = ∑ i = 1 n O D ( v i ) = e \sum_{i=1}^{n} \mathrm{ID}\left(v_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} \mathrm{OD}\left(v_{i}\right)=e ∑i=1nID(vi)=∑i=1nOD(vi)=e,
即有向图的全部顶点的入度之和与出度之和相等，并且等于边数。这是因为每条有向边都有一个起点和终点。
- 边的权和网
在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值成为该边的权值。这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。
- 稠密图、稀疏图
**边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。**稀疏和稠密本身是模糊的概念，稀疏图和稠密图常常是相对而言的。
一般当图 G G G 满足 ∣ E ∣ < ∣ V ∣ log ∣ |E|<|V| \log \mid ∣E∣<∣V∣log∣ V｜时，可以将 G G G 视为稀疏图。
- 路径、路径长度和回路
顶点 v p v_{p} vp 到顶点 v q v_{q} vq 之间的一条路径是指顶点序列 v p , v i 1 , v i 2 , ⋯ , v i m , v q v_{p}, v_{i_{1}}, v_{i_{2}}, \cdots, v_{i_{m}}, v_{q} vp,vi1,vi2,⋯,vim,vq, 关联的边也可以理解为路径的构成要素。
路径上边的数目称为路径长度。
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。若一个图有 n n n 个顶点，并且有大于 n − 1 n-1 n−1 条边，则此图一定有环。
- 简单路径、简单回路
在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。
- 距离
从顶点 u u u 出发到顶点 v v v 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 u u u 到 v v v 的距离。
若从 u u u 到 v v v 根本不存在路径，则记该距离为无穷 ( ∞ ) (\infty) (∞) 。
- 有向树
一个顶点的入度为 0 、其余顶点的入度均为 1 的有向图，称为有向树。
6.2 图的存储和基本操作
6.2.1 邻接矩阵法
邻接矩阵存储，是指用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边 的信息（即各顶点之间的邻接关系 )，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。
结点数为 n n n 的图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 的邻接矩阵 A A A 是 n × n n \times n n×n 的。将 G G G 的顶点编号为 v 1 , v 2 , ⋯ , v n v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n } v1,v2,⋯,vn。若 ( v i , v j ) ∈ E \left(v_{i}, v_{j}\right) \in E (vi,vj)∈E, 则 A [ i ] [ j ] = 1 A[i][j]=1 A[i][j]=1, 否则 A [ i ] [ j ] = 0 A[i][j]=0 A[i][j]=0 。
A [ i ] [ j ] = { 1 , 若 ( v i , v j ) 或 < v i , v j > 是 E ( G ) 中 的 边 0 , 若 ( v i , v j ) 或 < v i , v j > 不是 E ( G ) 中的边 A[i][j]=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { 若 }\left(v_{i}, v_{j}\right) \text 或