Ural Problem Set Volume 1: 1000-1099

Ural Problem Set Volume 1: 1000-1099
题号	标题	难度系数	算法
1000	A+B Problem	10%	直接加
1002	Phone Numbers	50%	动态规划或最短路
1003	Parity	70%	区间减法
1004	Sightseeing trip	60%	最短路
1005	Stone Pile	30%	动态规划或搜索
1006	Square Frames	35%	模拟
1007	Code Words	30%	模拟
1008	Image encoding	30%	广度优先搜索
1009	K-Based Numbers	20%	递推或枚举（数据规模小）
1010	Discrete Function	40%	贪心
1011	Conductors	25%	搜索
1012	K-Based Numbers	30%	递推
1013	K-Based Numbers	33%	递推
1014	The Product of Digits	30%	贪心
1015	Test the differences	35%	模拟
1016	A cube on the walk	50%	搜索或者最短路
1017	The Staircases	30%	递推（母函数）
1018	The Binary Apple Tree	50%	动态规划
1019	A Line painting	40%	离散化处理
1020	Rope	45%	一般的计算几何问题
1021	Sacrament of the sum	40%	动态规划
1022	Genealogical Tree	30%	拓补排序
1023	Buttons	50%	动态规划
1024	Permutations	25%	置换（和题目名字一样）
1025	Democracy in Danger	20%	贪心
1026	Questions and Answers	40%	快速排序
1027	D++ again	40%	字符串处理
1028	Stars	75%	线段树
1029	Ministry	55%	动态规划（注意优化）
1030	Titanic	60%	计算几何（注意精度！）
1031	Railway Tickets	45%	动态规划
1032	Find a mutilple	55%	同余问题
1033	Labyrinth	30%	搜索、遍历
1034	Queens in peaceful positions	35%	搜索
1035	Cross-sitich	60%	欧拉路径问题
1036	Lucky tickets	50%	递推
1037	Memory Management	55%	模拟（注意优化）
1038	Spell Checker	45%	字符串的操作及统计
1039	Anniversary party	40%	树的动态规划
1040	Airline company	55%	搜索
1041	Nikifor	85%	线性代数问题 （过了，但怀疑算法不对）
1042	Central Heating	50%	解线性同余方程组
1043	Cover an Arc.	58%	计算几何
1044	Lucky tickets	40%	递推
1045	A funny game	55%	搜索
1046	Geometrical dreams	88%	很复杂的计算几何
1047	Simple calculations	30%	数学题，解方程吧！
1048	Superlong Sums	48%	高精度加法
1049	Brave ballonists	30%	模拟
1050	Preparing an article	63%	比较麻烦的字符串处理
1051	A simple game on a grid	60%	数学杂题
1052	Rabbit Hunt	28%	简单的计算几何
1053	Pinocchio	32%	求最大公约数（题目意思不明）
1054	Hanoi Tower	50%	数学问题
1055	Combinations	40%	数学问题
1056	Computer net	55%	动态规划
1057	Amount of dergess	53%	数学问题
1058	Chocolate	85%	复杂的计算几何问题
1059	Expression	20%	简单的打印问题
1060	Flip game	35%	我搜索，过了
1061	Buffer Manager	45%	模拟
1062	Triathlon	83%	复杂的不等式问题
1064	Binary Search	48%	搜索
1065	Frontier	75%	动态规划
1066	Garland	40%	数学问题
1067	Disk Tree	45%	模拟或排序
1068	Sum	20%	简单的加法题
1069	The prufer code	50%	构造
1070	A local time	60%	考虑要周全
1071	Nikifor - 2	45%	搜索
1072	Routing	40%	最短路问题
1073	A square problem	50%	动态规划
1074	A very short problem	58%	模拟、判断
1075	A thread in the space	65%	麻烦的计算几何
1076	Trash	50%	二分图的最大权匹配
1077	Travelling Tours	60%	图的遍历
1078	Segments	40%	动态规划
1079	Maxium	50%	数学问题
1080	Map coloring	35%	深度优先搜索
1081	Binary Lexicographic Sequence	40%	数学问题
1082	Gaby Ivanushka	15%	没有算法，直接输出答案
1083	Factorials!!!	25%	简单的数学计算
1084	A goat in a kitchen garden	35%	简单的计算几何
1085	Meeting	55%	最短路
1086	Cryptography	45%	数学问题
1087	The time to take stones	48%	递推
1088	Ilya Murumetz	33%	二叉树的性质
1089	verification with a vocabulary	50%	字符串处理
1090	In the army now	60%	平衡二叉树
1091	Tmutarakan exams	57%	运用容斥原理
1092	Transversal	75%	贪心
1093	Darts	65%	立体解析几何
1094	E-screen	40%	字符串处理
1095	Nikifor - 3	45%	同余问题
1096	Get the right route plate!	40%	广度优先搜索
1097	Square country - 2	63%	离散化处理
1098	Questions	48%	字符串处理
1099	Work scheduling	60%	图的最大基数匹配

　

对于上面算法的一些说明

1002：由于动态规划算法要对字符串做多次匹配检查，所以应该先用一个图存储字符串的匹配情况，然后处理。

1003：这个问题用的是区间减法。所谓区间减法，也就是当我们知道了[a,b]的情况，[c,b]的情况，那么我们就可以推算出[a,c]的情况。

1004：这个题目我是用m次dijkstra做的，就是枚举所有的边。每当找到一条边，就把它去掉，然后搜索一次这条边的两个顶点之间的最短路（用dijkstra）。不过这种办法的效率很低 :(

1006：这个模拟其实很简单：就是找到一个框框之后，把它拿掉，被它覆盖的地方标上?。?可以代表任何东西。当我们只剩下?和.的时候，工作完成！

1014：注意一个恶心数据：输入0的时候，你可得输出10啊！

1016：我强行构图，最短路做的 :)

1018：标准程序有问题！他认为一个不含苹果的枝不存在！因此“丢掉了”一大堆东西……看看Discuss吧。

1024：就是求最小公倍数啦！

1029：典型的动态规划问题。按“层”划分阶段。但是值得注意的是，同一层之间也是可以规划的，因此这个题目可以说是一个“双重规划”。

1032：这是我认为不错的一道题。最开始我用时间复杂度O(N^2)的动态规划，勉强过了。后来发现这个题目有如下性质：一定存在一个满足条件的连续数列！理由如下：我们用Sum[k]记录数列的前k个元素之和mod n的值。如果Sum[k]=0，搞定。如果不为0，由抽屉原则，必存在Sum[a]=Sum[b],a<>b。不妨假设a<b，那么我们选择序列a+1到b，一定满足要求。

1035：这个题目是欧拉路径问题。方法嘛……先求图的所有连通分枝，对于每个连通分枝，求出每个定点“正面度”和“反面度”差的绝对值，把这些绝对值相加，设和为n。如果n=0，那么这个连通分枝可以1笔画。如果n>0，那么需要的笔画数为n div 2。

1040：这个题目的搜索本来有很多可以优化的地方，但是……由于数据很简单（连一个NO都没有，我faint），随便搜索一下，竟然过了！$#$#@$%@%@$%#@%$#%#@%$@……

1042：这也是一个不错的题目（可是数据太简单）。首先，我们可以证明不可能选出两组人，使得这两组人完成的工作相同。然后我们就会发现，工程师有2^N种选法，开关有2^N种状态。而选法和状态必然一一对应。因此——解方程！

1050：放心大胆的开数组存吧！注意一点：在endofinput的时候别忘了匹配最后一个自然段的引号啊！

1055：这个题目我用的是筛法。通过一次筛法，即可确定C(m,n)的所有质因子，个数自然就求出来了。

1058：原先我误以为通过多边形重心的直线一定平分多边形面积。后来经过简单的计算，否定了这种方法。但是，我们可以证明最佳的分割线一定和某两条夹角相等。因此我们可以枚举两条边，求出和这两条边夹角相同的直线（注意，有两条），然后平移这条直线，直到平分多边形面积为止。平移的方法有多种，我采取的是比较精确的二分法（据说步长0.1移动也可以，我faint）。

1062：这是一个相当麻烦的题目。首先，若要第i个选手“击败”第j个选手，可以列出不等式：L1/(v1i)+L2/(v2i)+L3/(v3i)<L1/(v1j)+L2/(v2j)+L3/(v3j)。显然我们可以通过换元的方法把L3消去。这样，我们就可以得到形如a*L1+b*L2+c<0（>0）的不等式。而我们要判断i是否可以取胜，必须解出所有n-1个上面说到的不等式，求出其交集。注意到这个不等式的几何意义是一个半平面，仅此求交集实际上就是用这些不等式代表的直线去“切割”一个平面（第一象限平面），如果平面被“切没了”，那么说明不等式组的解集为空，第i个选手不可能获胜。否则第i个选手就可以获胜。

1066：我的算法其实很笨：可以证明必有一个灯的“海拔高度”为0。因此我们可以枚举这个高度为0的灯，选取最优值，问题解决。

1076：求二分图的最大权匹配有两种常用的方法，一种是用最小费用流算法，还有一种是KM算法。一般而言，后者的效率更高。

1077：这个题目采用的是所谓“找桥”算法。也就是构造这个图的生成树，然后枚举不在生成树中的边。每一条边对应一个环。

1082：可以证明数列1,2,3,4,...,n就符合要求。直接输出。

1090：这个题目应该使用排序二叉树。因为用表的数据结构，难免较大范围的数据移动，因此速度比较慢。而使用排序二叉树则可以很好的解决这个问题。所谓的平衡二叉树，就是深度尽可能小的排序二叉树（也就是尽可能的接近完全二叉树）。这样，我们可以把时间复杂度从O(N^2)降低到大约O(N*log2(N))。 构造平衡二叉树的方法是引入平衡指数。具体方法参见清华大学《数据结构（第二版）》。

1093：这个题目的关键是写出靶子所在平面的“点法式”。假设平面过点(x1,y1,z1)，法向量是(Nx,Ny,Nz)，那么平面的方程为：Nx(x-x1)+Ny(y-y1)+Nz(z-z1)=0。得到这个式子之后，把运动方程中的x,y,z带入平面方程，就得到一个关于t的二次函数。接下来的问题就比较简单了……

1099：这个题目的标准方法是“带花树”，当然，用bfs也可以。具体的匈牙利算法比较复杂，大家有兴趣可以参阅图论有关书籍。