【佳佳的斐波那契】

题目

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思路

我们的目标是T[n]： ${\sum }_{1<=i<=n}if[i]$


我们的迭代目标是： $T[n]\to T[n+1]$


为了达成迭代目标，我们需要引入： $T[n+1]-T[n]=(n+1)\cdot f[n+1]$


不失一般性，我们把引入的对象看成: $(n+2)\cdot f[n+2]$


为了迭代这个对象，我们引入 nf[n] 和 (n+1)f[n+1]，就有：

$n\cdot f[n]+2f[n]+(n+1)\cdot f[n+1]+f[n+1]=(n+2)f[n+2]$

由此我们确定了需要引入的几个对象：
$[f[n],f[n+1],nf[n],(n+1)f[n+1],T[n]]$

其中，几个对象构成的子矩阵本身是可迭代的：
$$\begin{array}{r}[f[n],f[n+1]]\\ [f[n],f[n+1],n\cdot f[n],(n+1)\cdot f[n+1]]\end{array}$$

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代码

#pragma GCC optimize(3)
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 5;
int n, m;
void mul(int c[][N], int a[][N], int b[][N])
{
    int temp[N][N] = {0};
    for(int i = 0; i < N; i++)
    {
        for(int j = 0; j < N; j++)
        {
            for(int k = 0; k < N; k++)
            {
                temp[i][j] = (temp[i][j] + 1LL * a[i][k] * b[k][j]) % m;
            }
        }
    }
    memcpy(c, temp, sizeof temp);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m;
    
    int a[N][N] = {1, 1, 1, 2, 1};
    int b[N][N] = {
        {0,1,0,2,0},
        {1,1,0,1,0},
        {0,0,0,1,0},
        {0,0,1,1,1},
        {0,0,0,0,1}
    };
    
    int x = n-1;
    while (x){
        if(x & 1) mul(a, a, b);
        mul(b, b, b);
        x >>= 1;
    }
    cout << a[0][4] % m;
    return 0;
}