一种用于航天器姿态跟踪的新型角速度观测器（三）

一种用于航天器姿态跟踪的新型角速度观测器（三）

A new angular velocity observer for attitude tracking of spacecraft

ISATransactions 130 (2022) 377–388

DOI:10.1016/j.isatra.2022.03.025

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摘要：
本文提出了一种基于收缩分析的新型航天器姿态跟踪角速度观测器。观测器在惯性参考系中通过估计惯性角动量来设计，以避免在体坐标系中表示航天器动力学时角速度的平方项。它采用由简单的一阶线性滤波器生成的连续角速度相关创新项，而不是角速度观测器设计中常用的不连续姿态相关创新项，从而产生平滑的行为。实现了全局指数收敛。此外，当与本文设计的指数收敛跟踪控制器相结合时，它给出了一个依赖于分离特性的指数稳定性的整体系统。最后，引入具有滞后的切换函数来稳定配置空间中的最接近平衡点，实现全局指数稳定性。通过数值模拟来说明所提出的观测器在闭环中的性能，与类似结果的比较，以及在惯性参数不确定性和噪声测量下的稳健性验证。

关键词： 角速度观测器 收缩分析 全局指数收敛 分离特性 航天器

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5. 模拟

本节使用表 1 中列出的初始条件和设计参数进行模拟。所需轨迹由 ${\dot{q}}_d=\frac{1}{2}J(q_d){\omega }_d$ 、 ${\omega }_d^T=[0,0.11,0]$ [rad/s] 和 $z_d^T=[0,0,0]$ 给出。此外，所考虑的惯性矩阵（单位为 [Kgm^2]）取自哈勃太空望远镜，减少了 10000 倍 [2]：

M = [ 3.6046 − 0.0706 0.1491 − 0.0706 8.6868 0.0449 0.1491 0.0449 9.3484 ] M = \begin{bmatrix} 3.6046 & -0.0706 & 0.1491 \\ -0.0706 & 8.6868 & 0.0449 \\ 0.1491 & 0.0449 & 9.3484 \end{bmatrix} M= ​3.6046−0.07060.1491​−0.07068.68680.0449​0.14910.04499.3484​ ​

所有图形分为六个图：（a）四元数误差 $e$ 显示在其标量部分 $e_0$ 中，（b）四元数误差矢量部分的 $l_2$ 范数，（c）角速度跟踪误差 $\Vert \tilde{\omega }\Vert$ ，（d）角速度估计误差 $\Vert \hat{\omega }-\omega \Vert$ ，（e）控制力范数 $\Vert \tau \Vert$ ，和（f）以 $\sqrt{{\int }_0^t{\tau }^T\tau dt}$ 表示的累积燃料消耗。

5.1. 状态反馈控制器的性能恢复

本小节说明，通过适当调整观测器增益 $k_o$ ，姿态反馈控制器 (41)–(42) 和 (6)–(7) 可恢复状态反馈控制器 (31)–(32) 的性能。结果如图 1 所示。

惯性矩阵 (56) 受 $m{I}_3=3.5997I_3\le M\le \bar{m}{I}_3=9.3913I_3$ 约束。根据定理 2，它给出了 $0<{ϵ}_q<\frac{m}{m}=0.3833$ 的收缩率 ${\lambda }_o=k_o\left(\frac{1}{9.3913-{ϵ}_q}-\frac{3.5997}{m}\right)$ ，其中滤波器增益为 $\gamma =1$ 。从图 1 可以看出，当观测器增益 $k_o$ 从 0.3 增加到 1 时，全状态反馈控制器的性能实际上得到了恢复。

5.2. 类似设计之间的比较

为了将所提出的观测器的性能与文献中报道的类似设计进行比较，将观测器 (6)–(7)（称为方案 1）与 [4] 中的指数收敛观测器（[4] 中的方程 (22)-(25)，本文称为方案 2）和 [6] 中的降阶观测器（[6] 中的方程 (33)-(34)，本文称为方案 3）进行了比较，并与切换姿态反馈控制器 (49)–(50) 和 (47) 组成闭环。这种选择背后的理由有两点：首先，这两篇参考文献中的观测器使用四元数运动学来评估校正项，从而允许使用相同的无奇点姿态描述进行合适的比较。其次，这些观测器被证明是指数收敛的。此外，[6] 中的观测器采用与本文相同的收缩分析设计。另一方面，[4] 声称，那里设计的观测器可以与任何指数收敛的姿态反馈控制器一起使用，事实上，可以使用与本文类似的方法来证明这一点。

为了进行比较，方案 2 的观测器增益 $(k_p,k_v)$ 和方案 3 的观测器增益 $(K_1,\gamma )$ 被选择为使得当观测器增益为 $k_o=1$ 时，由 $\sqrt{{\int }_0^t{\tau }^T\tau dt}$ 计算出的燃料消耗水平与方案 1 中的燃料消耗水平大致相同。

这里考虑了四种情况：（1）连续情况，在理想情况下比较这三种方案的性能，将滞后半宽设置为 $\delta =1$ （即不允许切换），并且不存在参数不确定性和测量噪声；（2）切换情况，在允许切换时比较性能，将滞后半宽设置为 $\delta =0.15$ ；（3）参数不确定性情况，比较在惯性矩阵中存在参数不确定性时的稳健性；（4）噪声测量情况，比较在存在四元数测量噪声的情况下的性能。在后两种情况下，滞后半宽保持在 $\delta =0.15$ 。

为了将所提出的观测器的性能与文献中报道的类似设计进行比较，将观测器 (6)–(7)（称为方案 1）与 [4] 中的指数收敛观测器（[4] 中的方程 (22)-(25)，本文称为方案 2）和 [6] 中的降阶观测器（[6] 中的方程 (33)-(34)，本文称为方案 3）进行了比较，并与切换姿态反馈控制器 (49)–(50) 和 (47) 组成闭环。这种选择背后的理由有两点：首先，这两篇参考文献中的观测器使用四元数运动学来评估校正项，从而允许使用相同的无奇点姿态描述进行合适的比较。其次，这些观测器被证明是指数收敛的。此外，[6] 中的观测器采用与本文相同的收缩分析设计。另一方面，[4] 声称，那里设计的观测器可以与任何指数收敛的姿态反馈控制器一起使用，事实上，可以使用与本文类似的方法来证明这一点。

为了进行比较，方案 2 的观测器增益 $(k_p,k_v)$ 和方案 3 的观测器增益 $(K_1,\gamma )$ 被选择为使得当观测器增益为 $k_o=1$ 时，由 $\sqrt{{\int }_0^t{\tau }^T\tau dt}$ 计算出的燃料消耗水平与方案 1 中的燃料消耗水平大致相同。

这里考虑了四种情况：（1）连续情况，在理想情况下比较这三种方案的性能，将滞后半宽设置为 $\delta =1$ （即不允许切换），并且不存在参数不确定性和测量噪声；（2）切换情况，在允许切换时比较性能，将滞后半宽设置为 $\delta =0.15$ ；（3）参数不确定性情况，比较在惯性矩阵中存在参数不确定性时的稳健性；（4）噪声测量情况，比较在存在四元数测量噪声的情况下的性能。在后两种情况下，滞后半宽保持在 $\delta =0.15$ 。

5. 模拟

本节使用表 1 中列出的初始条件和设计参数进行模拟。所需轨迹由 ${\dot{q}}_d=\frac{1}{2}J(q_d){\omega }_d$ 、 ${\omega }_d^T=[0,0.11,0]$ [rad/s] 和 $z_d^T=[0,0,0]$ 给出。此外，考虑的惯性矩阵（单位为 [Kgm^2]）取自哈勃太空望远镜，减少了 10000 倍：

M = [ 3.6046 − 0.0706 0.1491 − 0.0706 8.6868 0.0449 0.1491 0.0449 9.3484 ] M = \begin{bmatrix} 3.6046 & -0.0706 & 0.1491 \\ -0.0706 & 8.6868 & 0.0449 \\ 0.1491 & 0.0449 & 9.3484 \end{bmatrix} M= ​3.6046−0.07060.1491​−0.07068.68680.0449​0.14910.04499.3484​ ​

所有图形分为六个图：（a）四元数误差 $e$ 显示在其标量部分 $e_0$ 中，（b）四元数误差 $\Vert e_v\Vert$ 的矢量部分的 $l_2$ 范数，（c）角速度跟踪误差 $\Vert \tilde{\omega }\Vert$ ，（d）角速度估计误差 $\Vert \hat{\omega }-\omega \Vert$ ，（e）控制力范数 $\Vert \tau \Vert$ ，和（f）以 $\sqrt{{\int }_0^t{\tau }^T\tau dt}$ 表示的累积燃料消耗。

5.1. 状态反馈控制器的性能恢复

本小节说明，通过适当调整观测器增益 $k_o$ ，姿态反馈控制器 (41)–(42) 和 (6)–(7) 可恢复状态反馈控制器 (31)–(32) 的性能。结果如图 1 所示。

惯性矩阵 (56) 受 $m{I}_3=3.5997I_3\le M\le \bar{m}{I}_3=9.3913I_3$ 约束。根据定理 2，它给出了 $0<{ϵ}_q<\frac{m}{m}=0.3833$ 的收缩率 ${\lambda }_o=k_o\left(\frac{1}{9.3913-{ϵ}_q}-\frac{3.5997}{m}\right)$ ，其中滤波器增益为 $\gamma =1$ 。从图 1 可以看出，当观测器增益 $k_o$ 从 0.3 增加到 1 时，全状态反馈控制器的性能实际上得到了恢复。

5.2. 类似设计之间的比较

为了将所提出的观测器的性能与文献中报道的类似设计进行比较，将观测器 (6)–(7)（称为方案 1）与 [4] 中的指数收敛观测器（[4] 中的方程 (22)-(25)，本文称为方案 2）和 [6] 中的降阶观测器（[6] 中的方程 (33)-(34)，本文称为方案 3）进行了比较，并与切换姿态反馈控制器 (49)–(50) 和 (47) 组成闭环。这种选择背后的理由有两点：首先，这两篇参考文献中的观测器使用四元数运动学来评估校正项，从而允许使用相同的无奇点姿态描述进行合适的比较。其次，这些观测器被证明是指数收敛的。此外，[6] 中的观测器采用与本文相同的收缩分析设计。另一方面，[4] 声称，那里设计的观测器可以与任何指数收敛的姿态反馈控制器一起使用，事实上，可以使用与本文类似的方法来证明这一点。

为了进行比较，方案 2 的观测器增益 $(k_p,k_v)$ 和方案 3 的观测器增益 $(K_1,\gamma )$ 被选择为使得当观测器增益为 $k_o=1$ 时，由 $\sqrt{{\int }_0^t{\tau }^T\tau dt}$ 计算出的燃料消耗水平与方案 1 中的燃料消耗水平大致相同。

这里考虑了四种情况：1. 连续情况，在理想情况下比较这三种方案的性能，将滞后半宽设置为 $\delta =1$ （即不允许切换），并且不存在参数不确定性和测量噪声；2. 切换情况，在允许切换时比较性能，将滞后半宽设置为 $\delta =0.15$ ；3. 参数不确定性情况，比较在惯性矩阵中存在参数不确定性时的稳健性；4. 噪声测量情况，比较在存在四元数测量噪声的情况下的性能。在后两种情况下，滞后半宽保持在 $\delta =0.15$ 。

场景 1：连续案例

图 2 显示了连续情况下跟踪误差的指数收敛。初始条件 $e_0=0$ 和 $\omega (0)=0.5\bar{u}$ 的选择有利于稳定点 $e_0=-1$ 。然而，由于不允许切换（ $\delta =1$ ），函数 $h(t)$ 保持其状态为 1，连续控制器遵循更长的路径，以指数方式稳定 $e_0=+1$ 。请注意，控制器试图将航天器从 $t=10$ [s] 的初始旋转中拉回，并将其推向 $e_0=+1$ 。这导致了燃料效率低下。在速度误差 $\Vert \tilde{\omega }\Vert$ （图 2©）中也可以观察到这种行为，其中速度误差在前 10 [s] 内增加。与方案 2 和 3 相比，可以从估计误差（图 2(d)）中看出，所有方案都驱动了 $\hat{\omega }\to \omega$ 。然而，方案 2 表现出振荡行为（图 2(e)），这会磨损姿态执行器（大多数情况下由电动机驱动的控制动量万向节），方案 3 的收敛时间最长（超过 200 [s]）。请注意，由于所选增益不同，所有方案在稳定状态下的燃料消耗水平都相同（图 2(f)）。

场景 2：切换大小写

图 3 显示了 $\delta =0.15$ 时各方案的性能。在这种情况下，当 $e_0$ 达到 $-0.15$ 时，状态 $h(t)$ 切换，并且所提出的控制器稳定了 $e=-\hat{1}$ ，如图 3（a）和（b）所示。由于状态 $h(t)$ 初始化为 1，因此在前 5 [s] 内，所提出的控制器试图停止航天器的旋转，这可以从速度误差中看出（图 3（c）），其中 $\Vert \tilde{\omega }\Vert$ 范数一直增长，直到状态 $h(t)$ 在 5 [s] 切换，然后，速度误差在 75 [s] 后降至 0。请注意，方案 2 在估计误差中仍然保持振荡行为（图 3（d）），并且比其他两个方案消耗更多的燃料（图 3（e））。方案3并没有实现稳定点 $e=-\hat{1}$ ，而是如图3(a)所示，对 $h(t)$ 进行了两次切换。此外，方案3的估计误差收敛时间最长(图3(d))，能耗最高(图3(f))。

场景 3：参数不确定性情况

为了验证所提控制方案的稳健性，模拟了惯性矩阵 $M$ 条目中 $+30 % $ 的参数不确定性。滞后半宽与之前相同（ $\delta =0.15$ ）。从图 4 中可以看出，所提方案保持了整体性能，没有显著变化，只是与理想切换情况相比，累计燃料消耗增加了约 $5 % $ （图 4（f））。请注意，方案 2 和方案 3 需要更多时间才能使速度估计收敛（图 4（c）），这对四元数跟踪（图 4（b））和速度跟踪（图 4（d））都有影响。请注意，所提方案保持了与理想切换情况相同的性能，而方案 2 对参数不确定性最为敏感，燃料消耗增加了 $13 % $ （图 4（f））。

场景 4：噪声测量案例

该场景中的四元数测量计算为 $q_m=\frac{q+n\bar{u}}{\Vert q+n\bar{u}\Vert }$ ，其中 $\bar{u}=\frac{u}{\Vert u\Vert }$ 为向量 $u\in {\mathbb{R}}^4$ ，其每个元素都是具有单位方差的零均值高斯分布，而 $n\in {\mathbb{R}}^a$ 为区间 $[0,0.2]$ 内的均匀分布。

图 5 说明了在噪声测量下方案的响应。图 5（a）显示了四元数误差 $e_0$ 的标量部分如何驱动到 $-1$ ，就像方案 1 和 2 的理想切换情况（约 70 [s]）以及方案 3 的理想切换情况（约 100 [s]）。图 5（b）说明了测量噪声下的四元数误差，其中范数 $\Vert e_v\Vert$ 保持在 [0,0.2] 之间，这与噪声方差大致相同。此外，方案 1 和 2 保持了速度估计误差（图 5（c））、 $e$ 标量部分的姿态跟踪误差（图 5（a））和速度跟踪误差（图 5（d））较小。然而，方案 3 的性能显著下降，因为姿态误差 $e$ 、速度误差 $\tilde{\omega }$ 和扭矩输出 $\tau$ 的振荡显著增加（图 5（a）、（b）、（c）和（e））。此外，虽然方案 1 中的燃料消耗与方案 2 和 3 中的理想切换情况大致相同，但该水平增加了约 5

除了容易受到参数不确定性和测量噪声的影响外，方案 3 仅具有半全局收敛性，当初始条件远离期望轨迹时，可能会发散，如下面的蒙特卡罗模拟所示。为了强调这一点，测量中不存在参数不确定性和噪声。参数 $\delta =1.0$ （不允许切换）以及表 1 中的所有初始条件和参数保持不变，但初始角速度除外，其设置为 $\omega (0)=rm\bar{u}$ ，其中 $rm\in [0,10]$ 是均匀分布的随机数。在蒙特卡罗模拟中考虑了 20 个 $rm$ 的随机值。对于这些初始角速度，方案 1 (6)–(7) 保持收敛，如图 6（a）所示，而方案 3，即 [6] 中的半全局收敛观测器，在大多数情况下失败，如图 6（b）所示。事实上，方案 3 仅在三个初始条件下实现了收敛，它们是 $rm=1.386$ 、 $rm=1.492$ 和 $rm=1.965$ 。因此，对于这些模拟中使用的这组参数，方案 3 的观测器仅在初始条件位于 $\Vert \omega (0)\Vert \le 2$ 内时才达到收敛（图 6(b)）。燃料消耗显示在图 6© 和 (d) 中。

6. 结论

本文介绍了一种基于收缩分析的新型角速度观测器。与之前报告的一些结果相比，其显著特点包括全局指数收敛，行为更平滑，调整更简单，并且对惯性参数不确定性和嘈杂姿态测量具有很强的鲁棒性。在无法进行角速度测量的应用中，该观测器可以用作独立观测器。

然后基于该观测器，以对数四元数定义的误差配置变量设计姿态反馈和切换姿态反馈控制器。建立了组合观测器-控制器的分离特性，实现了模块化设计。通过数值模拟来说明理论结果，与文献中报道的类似设计进行比较，并验证其对惯性参数不确定性和四元数测量噪声的鲁棒性。

利益竞争声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，可能对本文所报告的工作产生影响。

致谢

这项工作得到了墨西哥 CONACYT 的部分资助（资助编号 253677）和 PAPIIT-UNAM IN112421，并在国家汽车和航空航天工程实验室 LN-INGEA 进行。作者衷心感谢匿名审稿人、副主编和编辑提供的有益评论和审阅本文的时间。

附录 A. 收缩分析

本文简要总结并定制了收缩分析工具 [23, 27, 37]。考虑非线性系统

$$\dot{x}=f(x,t),x(t_0)=x_0,\forall t\in {\mathbb{R}}^{+}$$

其中 $x(t)\in X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是状态向量， $X$ 是凸集， $f:X\times {\mathbb{R}}^{+}\to X$ 是向量场，假设为连续可微分。假设系统是前向完备的，即与 $x_0\in X$ 相关的解 $\varphi (x_0,t)$ 、 $\forall t\ge t_0$ 存在 $\forall t\ge t_0$ 。如果存在某个 $\lambda >0$ 使得 $\forall x\in X$ 和 $t\ge t_0$ ，则称该系统在集合 $X$ 中相对于常数度量 $M=M^T>0$ 收缩

$$J^T(x,t)M+MJ(x,t)\le -2\lambda M$$

系统的微分动力学表示为

$$\delta \dot{x}=J(x,t)\delta x$$

其中 $J(x,t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ 是系统的雅可比矩阵。令 $V:=\delta x^{T}M\delta x$ 为度量 $M$ 下任意一对轨迹之间的平方距离。假设系统正在收缩，则 $V$ 沿微分动力学的时间导数为

$$\dot{V}=\delta x^T(J^T(x,t)M+MJ(x,t))\delta x\le -2\lambda \delta x^{T}M\delta x=-2\lambda V(t)$$

得到

$$V(t)\le V(t_0)e^{-2\lambda (t-t_0)}\forall t\ge t_0$$

并且 $\delta x\to 0$ 会呈指数收敛。因此，在集合 $X$ 中初始化的任何轨迹都将保留在其中，并且在度量 $M$ 下，在 $X$ 中初始化的任何一对轨迹之间的距离会呈指数收敛到零。定理 7 形式化了这一事实。

定理 7 (收缩[23, 37])

考虑系统。假设与 $f$ 相关的流是前向完整的。那么，在这种条件下，系统的任何一对解 $x(t)=\varphi (x_0,t)$ 和 $y(t)=\varphi (y_0,t)$ ，其初始条件为 $x_0,y_0\in X$ ，都将保留在 $X$ 中，并且

$$\Vert x(t)-y(t)\Vert \le \Vert x_0-y_0\Vert e^{-\lambda (t-t_0)},\forall t\ge t_0$$

集合 $X$ 称为收缩区域， $\lambda$ 为收缩率。

正如预期的那样，收缩性质在扰动下是稳健的。下面的引理可以按照 [26] 中的引理 3 和 [38] 中的引理 1 相同的步骤来证明。

定理 8（[26] 中的稳健性引理 3 和 [38] 中的引理 1）

考虑定理 7 中的系统和扰动系统

$${\dot{x}}_p=f(x_p,t)+d_1(x_p,t)+d_2(x_p,t),x_p(t_0)=x_{p,0},\forall t\in {\mathbb{R}}^{+}$$

假设扰动 $d_1(x_p,t)$ 的参数是连续的，具有连续雅可比矩阵，满足

∥ ∂ d 1 ( x p , t ) ∂ x p ∥ ≤ λ d \left\| \frac{\partial d_1(x_p, t)}{\partial x_p} \right\| \leq \lambda_d ​∂xp​∂d1​(xp​,t)​ ​≤λd​

其中 ${\lambda }_d<\lambda$ （系统的收缩率）和 $d_2(x_p,t)$ 是有界的，即 $\Vert d_2(x_p,t)\Vert \le d$ 为某个正常数 $d$ 、 $\forall x_p\in X,t\ge t_0$ 。然后

$$\Vert x_p(t)-x(t)\Vert \le C\Vert x_{p,0}-x_0\Vert e^{-{\lambda }_p(t-t_0)}+\frac{Cd}{{\lambda }_p},\forall t\ge t_0$$

其中 ${\lambda }_p=\lambda -{\lambda }_d$ 是受扰系统的收缩率， $C$ 是度量 $M$ 的条件数的上限。

部分收缩是收缩分析中的一个关键概念[27]。以下结果将有助于本文的设计。

定理 9 (部分收缩[27])

考虑以下辅助系统，称为虚拟系统

$$\dot{\xi }=\bar{f}(\xi ,x,t)$$

通过 $\bar{f}(x,x,t)=f(x,t)$ 与非线性系统相关联。假设虚拟系统在 $\xi$ 、 $\forall \xi ,x\in X,t\ge t_0$ 中收缩。然后，其所有特定解都以指数方式相互收敛，特别是 $\xi -x\to 0$ 从 $X$ 中的任何初始条件以指数方式收敛。该系统被称为部分收缩。

该定理使设计者能够提出一个虚拟系统，以目标轨迹 $x_T(t)$ 和实际系统轨迹 $x(t)$ 作为其特定解。如果虚拟系统正在收缩，则其所有特定解将以指数方式相互收敛，特别是 $x(t)-x_T(t)\to 0$ 以指数方式收敛。

如果分离系统正在收缩并且耦合项具有有界的雅可比矩阵，则两个级联系统在可能不同的度量下的收缩也是收缩，这在以下定理中有所说明。

定理 10 (级联系统的收缩 [23, 26, 39])

让两个可能不同维度的系统

$$\begin{array}{rl}{M}_1{\dot{x}}_1& =f_1(x_1,t)\\ M_2{\dot{x}}_2& =f_2(x_1,x_2,t)\end{array}$$

其中 $M_1,M_2$ 是具有适当维度的正定矩阵。考虑微分动力学

$${\left[\begin{array}{c}\delta x_1^T\\ \delta x_2^T\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{M}_1& 0\\ 0& M_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\delta x}}_1\\ {\dot{\delta x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{F}_1& 0\\ F_{21}& F_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta x_1\\ \delta x_2\end{array}\right]$$

如果在状态空间的某个区域中 $F_1:=\frac{\partial f_1}{\partial x_1}$ 和 $F_2:=\frac{\partial f_2}{\partial x_2}$ 是均匀负定的，并且 $F_{21}:=\frac{\partial f_2}{\partial x_1}$ 有界，则整个系统将在该区域中收缩。

考虑以下连续时间切换系统

$$\begin{array}{rl}\dot{x}(t)& =f_h(x(t),t)\\ h^{+}(t)& =g(x(t),h(t),t)\end{array}$$

其中 $x(t)\in X\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为连续状态， $f_h$ 为单个系统 $h\in H$ 的矢量场， $H$ 为索引集， $g$ 为定义切换规则的函数。系统在非连续点处右导数成立，其解右唯一，且按照 Filippov 意义定义。收缩分析已扩展到连续切换系统 [29, 41–43]。以下定理取自 [42] 中的定理 5 和 [29] 中的定理 3.2，给出了系统收缩的充分条件。

定理 11 (切换系统的收缩[29, 42])

如果各个系统 $f_h$ （对于 $h\in H$ ）相对于共同的恒定度量 $M$ 收缩，则连续时间切换系统正在收缩。

附录 B. 引理 5 的证明

证明 系统 (43)–(44) 的微分动力学计算如下

$$\left[\begin{array}{cc}{I}_{30\times 6}& 0_{6\times 3}\\ 0_{6\times 3}& M_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta {\dot{\xi }}_1\\ \delta {\dot{\xi }}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{J}_o& 0_{3\times 6}\\ {\bar{F}}_r& J_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\delta {\xi }_1\\ \delta {\xi }_2\end{array}\right]$$

其中 $J_o$ 和 $J_c$ 分别是观测器雅可比矩阵 (13) 和控制器雅可比矩阵 (39)，而 ${\bar{F}}_r^T=[F_r^T,0_{3\times 3}]$ 。根据旋转矩阵 $R$ 和斜对称矩阵 $S$ 的性质以及 $G(z)$ 的定义，可以证明 $F_r$ 有界于

$$\Vert F_r\Vert \le 2\frac{\bar{m}}{m}\Vert {\omega }_d\Vert +{\lambda }_c\frac{\bar{m}}{m}\left(2+3\pi +\pi \sin ({ϵ}_z)\right)+{\lambda }_{max}(K_c)\frac{m}{.}$$

因此，该系统具有附录 A 中的级联系统 (64) 的结构，其中集合 $X_o$ 中的雅可比矩阵 $J_o$ 和 $J_c$ 为负定，如定理 2 和 3 的证明所示。结论由附录 A 中的定理 10 得出。

参考文献

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