概率学 笔记一 - 概率 - 随机变量 - 期望 - 方差 - 标准差（也不知道会不会有二）

概率不用介绍，它的定义可以用一个公式写出：

$$事件发生的概率=\frac{事件可能发生的个数}{结果的总数}$$

比如一副标准的 52 张的扑克牌，每张牌都是唯一的，所以，抽一张牌时，每张牌的概率都是 1/52。但是有人就会说了，A 点明明有四张，怎么会是 1/52 的概率。

这就需要精准的指出我们计算概率时，到底什么是样本，什么是事件。

样本、事件

在一次统计中，一个可能的结果是样本点，样本点应该是唯一的。而事件可能是耦合的，比如扑克牌中，黑桃 A 就是一个样本点，大小王是两个样本点，但是 A 点就是事件，因为 A 有四张。

事件是包含样本点或排除样本点的，比如抽中 A 的概率，这个概率就包含四个样本点，分别是四张 A。如果是不抽中小丑的概率，这个概率就是排除大小王两个样本点。

• 样本点：一个可能的结果。
• 事件：实验的一个成果。
• 样本空间：所有样本的集合。（上面例子即整整一副扑克牌）

一个特殊的点是，骰子和硬币两面的概率严谨计算的话，他们的各个样本点的概率不一致，因为骰子和硬币是不规则的。不过后文的例子都会默认忽略，理想的认为骰子和硬币每个样本点的概率一致。

随机变量

随机变量是实验结果的抽象，一般用 X 表示。它用来描述实验结果的可能 数值。

在扑克牌中，每张牌天然具有点数，我们可以借用牌面的点数进行一些列的概率计算，但是掷硬币判断正反面呢？正反面不具有数值性，但是我们把正面记作 1 ，反面记作 0 来进行后续的数学计算。在进行这样的抽象之后，数值 0 和 1 就组成掷硬币实验的随机变量。

也就是：

• 随机事件抽象为数值
• 数值组成随机变量

当然这个数值是你自定义的，正面可以是 500，反面可以是 -1000，这和逻辑无关，随机变量的值是任意的。

见 https://www.shuxuele.com/data/random-variables.html

期望 μ

期望 μ （希腊语 mu 读作 /mjuː/），为了区别于“期望”本身的意义，在数学上更准确的说法是数学期望。期望用来描述一组随机值的均值，某种程度上也可以叫做均值。但是在概率中，期望的均值是根据概率加权求平均，而不是直接用事件求平均。

期望可以反应概率的平均结果，比如掷骰子，掷足够多次之后，累计点数除以掷的次数，就是骰子点数的期望。

期望的计算方式是：

$$\mu =\Sigma xp$$

其中，$\Sigma$ 读作 Sigma，用于求和；$x$ 代表事件的值；p（Probability）代表概率。

显然一个骰子点数的期望就是：

$$\mu =\Sigma xp=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}$$

方差 Var(X)

方差用来形容事件的离散程度，这个值越大，说明事件概率离散程度越高，也就是越不稳定。

方差的公式是：

$$Var(X)=\Sigma x^{2}p-{\mu }^2$$

如果一个事件必定发生，那么方差就是 0。

标准差 σ

标准差 σ （sigma）就是方差的的平方根。因为方差在计算时使用的平方，标准差的值相比方差可读性稍微高一点，比较靠近期望。

计算如：

$$\sigma =\sqrt{Var(X)}$$

小练习

同时掷四个硬币，记硬币正面为 1，反面为 0，求硬币为正面的标准差。

解：

每个硬币两种可能性，正面和反面，四枚硬币掷出的事件有：

$$2^4=16$$

取每次支持正面朝上的个数做随机变量 X，有：

$$X\in \{0,1,2,3,4\}$$

使用组合思想，每次掷出有 m 个正面的次数有 $C_4^m$，概率 P(X) 有：

$$P(X)=\frac{C_4^X}{16}$$

期望为：

$$\mu =\Sigma xp=\Sigma x\frac{C_4^x}{16}=2$$

方差为：

$$Var(x)=\Sigma x^2\frac{c_4^x}{16}-{\mu }^2=5-4=1$$

取方差算术平方根结果可得到标准差，答案是 1。

参考

• 概率 – 数学乐