CS269I：Incentives in Computer Science 学习笔记 Lecture 16: Revenue-Maximizing Auctions（收入最大化拍卖）

Lecture 16: Revenue-Maximizing Auctions（收入最大化拍卖）

1 Revenue Maximization and Bayesian Analysis

一直以来，我们关注的都是最大化社会福利的拍卖设计（至少在那些真实出价的场景中）。福利最大化确实是在很多场景中我们最多考虑的事情，比如我们之前看了很长时间的赞助搜索和在线广告。在福利最大化拍卖中，收入也被考虑过，但也仅仅是机制的一个副产物——用以激励人们说出他们的个人信息。（想象一下，当我们在单件拍卖中什么钱都不收的时候会发生什么？）

但是，如果我们追求的目标变成了最大化拍卖者的收入呢？在这一讲里，也是拍卖机制设计的最后一讲里，我们将要讨论这会引发什么样的变化。

1.1 One Bidder and One Item（一个竞拍者和一个物品）

下面的平凡例子是一个演示：假设仅有一个物品和一个竞拍者，并且竞拍者的估值为v。由于没有竞争者，因此他讲诚信的可能性很小。事实上，这就是一锤子买卖——你出一个价格r，如果v>r，他就接受；如果v

假设我们希望最大化收入，那么我们应该如何设置r呢？如果我们提前知道v，当然会令r=v，但是如果v是私下的，我们该怎么办？并没有一个明确的答案。（译者注：生活中常用的自然是讨价还价（bargain））

根本问题是，不同的拍卖在不同的目标上做得更好。从另一种角度来看：如果您的目标是最大限度地提高社会福利，即使您知道出价人愿意支付的金额，也永远不会后悔将r设置为0。如果您的目标是最大化收益，那么您就只能以小概率碰碰运气了（即r = v）。

1.2 Bayesian Analysis（贝叶斯分析）

为了比较不同的拍卖制度下的收入，我们首先需要建立一个模型来平衡不同情况下的收益（支付，trade-off）。做这件事情的标准模型正是**“average case（平均案例）”或“Bayesian Analysis（贝叶斯分析）”**，为此，我们的模型需要包含下面的成分：

1. 单件拍卖（1个卖家，1个物品，n个竞拍者）
2. 这些竞拍者的私下估值v_1,…,v_n。假设他们的出价是i.i.d.的，满足分布F。
3. 分布F被卖家预先知道。例如，可能是从先前的数据知道的。当然，v_1,…,v_n仍然只有每个竞拍者自己知道。

这个设置仍然可以在很多方面进行推广。首先，我们将在赞助搜索的背景下，看看如何进行多件拍卖。其次，当竞标人的估值分布由独立的F_1,…,F_n得出时，结论是广为人知的。不过，今天，我们将坚持i.i.d.，因为它更简单；请参阅CS364A讲义以了解对不相同情况的处理。第三，当投标人的估价可以相互关联时，该理论变得更加复杂。人们常常做出独立估值的假设，并不是因为一个人真的相信它，而是因为这一假设为思考拍卖设计提供了一种有用的理论框架。最后，在本讲座中，我们仅考虑真实的（truthful）拍卖。请注意，这意味着投标人无需了解或关心估价分布F（在任何情况下，投标人都应该真实地投标）。同样，该理论更为笼统，不过也上意味着在限制对真实拍卖的关注上不会失去笼统性。例如，您无法通过高价格拍卖（处于平衡状态）比次价格拍卖赚更多的钱。

在贝叶斯的环境下，我们清楚如何定义“最佳”拍卖——在所有真实拍卖中，具有最高预期收入的那一个，其中预期收入是指对投标人估值的期望。

1.3 One Bidder and One Item, Revisited（回顾单件拍卖）

使用我们的贝叶斯模型，如果只有一个竞拍者的情况就变得很容易讨论：每一场拍卖的收入即为：
$$\underset{\text{revenue of a sale }}{r}\cdot \underset{\text{probability of a sale }}{(1-F(r))}.$$
（译者注：这里的F应该是一个cdf，这样的话F®就表示目标的估值小于r的概率，即不买的概率）

给定一个估价分布F，找到最佳的r使得上式取得最大值一般来说是个简单的问题。这个最优发布价格称为分布F的垄断价格（monopoly price）。显然，发布垄断价格就是使拍卖收益最大化。例如，如果F是[0，1]上的均匀分布（则，F的cdf为F(x)= x ），则将预期收入的导数设置为零，求解表明垄断价格为1/2（预期收益为1/4）。

如果有两个竞标者，卖出物品的空间会增大（两个人中只要有一个人同意购买，拍卖就可以成功进行），收益也会增大。例如，考虑一个具有两个竞标者的单项拍卖，其估值为i.i.d.在[0，1]上的均匀分布。我们如果使用次价格密封的拍卖策略，我们的收入就是二者的较小的那一个出价的期望，即1/3。

我们还可以进行保留价格（reserve price）次价格拍卖，类似于eBay拍卖中的“起拍价”。在具有保留价格r的Vickrey拍卖中，除非所有出价都小于r，否则胜者是出价最高的人。中标者（如果有），则支付第二高的出价或r，以较大者为准。从收入的角度来看，添加底价r既有好处，也有坏处：当所有出价均小于r时，您将损失收入，但当恰好有一个出价高于r时，您将增加收入（因为售价提高）。在我们的案例中，将保留价格提升为1/2会带来净收益，从而将预期收入从1/3提升到5 /12（留作练习）。

但是，我们可以做得更好吗？也许使用不同的保留价格？也许是完全不同的拍卖形式？虽然真实拍卖的丰富空间使这成为一个令人生畏的问题，但本讲座的其余部分提供了一个完整的解决方案，该解决方案最初是由迈尔森提出的。

2 Optimal Auction Theory（最优拍卖理论）

我们需要一个技术性的定义来正式描述我们的主要结果。

定义2.1：一个概率密度（pdf）为f的分布F是正则的（regular），如果：
$$x-\frac{1-F(x)}{f(x)}$$
关于x单调不减。

举个例子，[0,1]上的均匀分布F(x)=x和f(x)=1，因此上面的式子为2

x-1，是递增的，因此F(x)正则。其它的正则函数包括指数分布，对数正态等等分布；最常见的非正则函数是二元分布。

在接下来的讨论中，我们都假设分布估价分布函数是曾泽的。不过，最大化拍卖理论在非正则分布中也能用，但是在正则分布中结论比较好证明。

下面的结论是这个理论最主要的结果：

定理2.2：如果竞拍者的估值满足一个正则分布F，那么在使用次价格密封拍卖并采取与F的垄断价格相等的保留价格的时候，取得最大期望收入。

讨论：定理2.2事实上只是论文：R. Myerson. Optimal auction design.Mathematics of Operations Research,6(1):58–73,1981.中结论的一种特殊情况，而且可以推广到非正则和非同分布上。为了节省时间，我们在这里不会证明定理2.2.

定理2.2表明，在i.i.d.的投标人和正则的估价分布的假设下，eBay（具有合适的开标价）是最佳的拍卖形式！鉴于拍卖设计空间的丰富性，如此简单实用的拍卖成为最佳拍卖很难不令人惊讶。例如，在我们上面的例子中，两个投标人的估价都是均匀分布，那么次价格拍卖以底价1/2实现的预期收益5/12实际上是最大的可能收入（因为1/2是均匀分配的垄断价格）。

定理2.2的另一个令人印象深刻的方面是，最优保留价格与投标人数量n无关。尽管随着n的增加，底价变得越来越不重要，但是，它是必要的（在第四节我们会进行更多的讨论）。

定理2.2不仅限于单项拍卖。例如，假设一个项目有k个相同的副本，并且每个竞标者都想要最多一个副本（副本的意思是说这些东西的卖价必须相同）。回想一下，最大福利拍卖会以等于最高亏损出价（所有人的出价里第（k +1）高的）的价格，将项目的副本提供给前k个出价最高的出价者。假设估值函数是i.i.d.的正则分布F，那么收益最大化的拍卖仅在保留价格r上有所不同，该底价又等于F的垄断价格。（因此，现在的最佳底价不仅与投标人的数量无关，而且与物品副本的数量也无关。形式上，在后者拍卖中的获胜者是既处于前k个竞标者，竞标价又高于保留价r的竞标者，并且每份副本的售价均为max{r,第(k +1)个最高出价}。

作为练习，请证明上面的拍卖制度是真实的（truthful）。

我们假设收益最大化的赞助搜索拍卖中，竞标者的每次点击估价为i.i.d的正则分布中。这样，遵循相同的模板：只需将保留价格定为福利最大化（VCG）拍卖中的垄断价格即可。形式上，获胜者是同时位于前k个出价者和高于保留价r的出价者，第i个最高出价者被分配给第i个广告位，每个广告位的每次点击价格是 r和该广告位的VCG价格中的最大值。同样的，这是一次真实的拍卖，底价仅取决于F，而不取决于设置的其他任何细节（例如不同广告位的点击率）。

3 Case Study: Reserve Prices in Yahoo Sponsored Search Auctions（案例：雅虎赞数搜索拍卖中的保留价格）

那么，所有这些最佳拍卖理论应该如何使用呢？接下来，我们讨论由Ostrovsky和Schwarz 在2008年进行的现场试验。该实验探讨了拍卖理论的经验是否可以让雅虎在其赞助搜索拍卖中增加收入。如上所述，假设出价者对每次点击的估价是i.i.d.的正则分布F，在将垄断保留价格应用于所有竞标者之后，收益最大化拍卖仅按竞价对竞标者进行排名（从最佳位置到最差）。

在2008年前，雅虎一直在做什么？首先，他们使用相对较低的底价——最初是$0 .01，后来是$0 .05，然后是2008年的$0.10。也许是因为天真，他们在所有关键字上都使用了$0.10的底价，即使某些关键字当然可以保证比其他关键字有更高的底价（例如，将“离婚律师”与“比萨饼”进行比较）。如果将每个关键字的底价独立更改为理论上的最佳值，雅虎的收入将如何变化？

现场实验分为两个部分。首先，根据过去的出价数据，对大约50万个关键字中的每个关键字都设置了对数正态分布。此步骤有些特殊，但没有证据表明最终结论与其细节相关（例如特定使用的分布族）。

接下来，从拟合出的正则分布中，为每个关键字计算理论上的最佳底价。不出所料，最佳保留价格在各个关键字之间变化很大，但是有很多关键字的理论最佳保留价格为$0.30或$0.40。因此，相对于理论价格，雅虎在许多关键字上的统一保留价格太低了。

理论上说，要把保留价格改为理论价格才能检验理论的正确性，但是，雅虎的高层人士希望保守一些，并将新的保留价格设置为理论保留价格和旧底价（0.10美元）的平均值。改变奏效了：拍卖收入增长了很多（10%？）。新的底价在有价值但“稀薄”的市场上尤其有效，因为这些市场上的竞争力不强（少于6个竞标者）。雅虎总裁认为，更好的底价是雅虎在2008年第三季度报告中获得更高搜索收入的最大原因。

4 Prior-Independent Auctions and the Bulow-Klemperer Theorem（与先验无关的拍卖和BK定理）

定理2.2确定了估值分布F下的收入最大化拍卖。（不同的F具有不同的垄断价格，因此具有不同的最优拍卖。）但是我们怎么才能得到F？如果我们没有关于竞标者估值的最新和相关数据，该怎么办？我们可以和以前做的一样吗？与先验无关的拍卖设计的目标是设计一个拍卖，其描述与潜在的分布无关，并且其性能几乎与事先已知的分布一样好。在过去的十年中，这一直是计算机科学和经济学界的热门话题。

今天，我们只有时间来谈谈经典拍卖理论的一个漂亮的成果，这也是先验独立拍卖理论的重要先驱。次价格密封拍卖的预期收入显然只能少于最佳拍卖的收入；然而，Bulow和Klemperer 的以下结果表明，当次价格密封拍卖的环境变得更具竞争力时，这种不平等现象得以扭转。

定理4.1：（BK定理）令F是一个正则的分布，并且n为正整数，并且每个竞价者的出价分布都遵循F，则：

无保留次价格单件拍卖在(n+1)个竞价者上的期望收入≥最优单件拍卖在n个竞价者上的期望收入。

讨论：请注意，该式子左侧的拍卖（无保留价格的次价格拍卖）是“先验独立的”，这意味着其结果与基础分布F无关。从这个意义上讲，在i.i.d的所有单件拍卖环境中，假设有无限个竞标者，则次价格拍卖和最佳拍卖的收入是相同的。

Bulow-Klemperer定理在实践中也存在支持——即额外的竞争比使拍卖形式正确无误更为重要。也就是说，应该将您的资源更多投入到吸引更多认真的参与者上，而不是加深对投标人偏好的了解（当然，如果可以的话，两者都做！）。

我们会跳过这个定理的证明，欲知详情，请看CS364A的讲义。如果我们证明了定理2.2，那么4.1就很简单了。

定理4.1中的保证还意味着，随着i.i.d.的竞标者数量在单项拍卖中的增长，次价格拍卖预期收入几乎与最优拍卖（竞标者数量相同）相同。这种结果的一种直觉是，最优拍卖中的底价——两个拍卖之间的唯一差异——在n->∞时无限趋于相同。

推论4.2：在n≥2个竞标者的单项拍卖中，次价格拍卖的预期收入至少是F最佳拍卖的(n-1)/ n倍。

推论4.2使用下面的引理结合上面的定理可以立即证明：

引理4.3：对于任意的正则分布F，对n-1个人使用最优拍卖的期望收入/(n-1)≥对n个人使用最优拍卖的期望收入/n.

证明：我们使用模拟法，假设A*是在n个竞标者中的最优拍卖策略，现在我们使用A*来制造一个在n-1个竞标者上使用的策略A’，使得它们之间存在较大的关系：

1. 从n-1个竞标者处接受出价b_1,…,b_{n-1}
2. 从F中随机采样一个b_n
3. 在b_1,…,b_n上使用A*
4. 如果算法的结果是这个物品最终被卖给了1~(n-1)中的一个人，就卖出去；否则不卖。

那么，根据对称性，使用A’得到的收入应该是使用A*的(n-1)/n（就相当于随机选择一个人怎么也不卖给他，但会损失1/n的收益），而A’得到的收入又必然比n-1个人的最优收入要少，证毕！

简单实用的拍卖的逼近保证（例如推论4.2）多年来一直是计算机科学领域的热门话题，并且在经济学中也越来越流行。这样的结果在更复杂的环境中尤为重要，因为在这种情况下最佳拍卖不如定理2.2那样简单（例如使用非i.i.d.投标人或具有多个不相同的物品）