算法设计与分析第一堂课笔记复习

算法是解决问题的一种方法或一个过程，是由若干条指令组成的又穷序列，
算法的性质

• 输入：有零个或多个
• 输出：“至少一个”
• 确定性：组成算法的每条指令清晰无歧义
• 有限性：算法中每条指令和执行次数和执行时间都是有限的。
• 算法与程序的区别：程序是算法用某种程序设计语言额具体实现的，可以不满足有限性。

1.2算法的复杂性分析

• 算法的复杂性分为**时间复杂性**和空间复杂性
• 三种情况下的时间复杂性，可操作性最好最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。
• 算法复杂性的渐进分析：O，o，Ω，ω，Θ

1.3递归算法：数据结构、树和二叉树和列表的采用递归方式来，原则上：许多数据结构并不采用递归定义方式，而是直接定义，线性表、字符串和数组等数据结构直接定义方式更自然、更直接了当。

问答题：什么是算法？它与计算过程和程序有什么区别？

答：可以将算法理解为使用计算机解决问题的方法和步骤。算法 是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每条指令 都表示一个或者多个操作。

2.算法研究主要有那些方面？
答：算法设计方面： 有分治法：将问题分解为若干个子问题，分别求解，然后合并子问题得到原问题，例如快速排序、归并排序算法。
动态规划：通过把原问题分解为相对简单的子问题来求解复杂的问题，保存子问题的解避免重复计算，如背包问题，最长公共子问题。

贪心算法：对问题求解的时候，总是做出当前看来最好的选择，比如最小生成树，的Prim和Kruskal的算法等等

问：请使用归纳法证明汉诺塔函数的正确性：
答：首先，我们需要理解汉诺塔问题的基本规则和目标。汉诺塔问题涉及三个柱子（A、B、C）和一个或多个大小不同的圆盘。目标是将所有圆盘从起始柱子A移动到目标柱子C，同时在移动过程中必须遵守以下规则：无论问题的结果如何，最终都遵循一个原则

每次只能移动一个圆盘。

圆盘在移动过程中必须保持堆叠的状态，且小圆盘不能放在大圆盘上面。
为了证明汉诺塔函数的正确性，我们可以使用数学归纳法，这是一种通过逐步推理来证明定理的方法。具体到汉诺塔问题，我们可以按照以下步骤进行：

‌基础情况（n=1）‌：当只有一个圆盘时，显然可以直接将这个圆盘从A柱移动到C柱，不需要任何辅助步骤，因此当n=1时，结论成立。

‌归纳假设‌：假设当圆盘数量为n时，可以将所有圆盘从A柱移动到C柱，并且保持小圆盘在大圆盘下面的规则。

‌归纳步骤‌：考虑n+1个圆盘的情况。我们可以将问题分解为三个主要步骤：

首先，将n个圆盘从A柱通过C柱移动到B柱。这一步可以通过归纳假设完成，因为我们有足够的圆盘数量n。
然后，将剩下的一个圆盘（第n+1个）从A柱移动到C柱。
最后，将n个圆盘从B柱通过A柱移动到C柱。同样，这一步也可以通过归纳假设完成。
通过这种方式，我们可以证明，无论圆盘的数量是多少，都可以通过上述三个步骤将其从A柱移动到C柱，同时保持小圆盘在大圆盘下面的规则。这证明了汉诺塔函数的正确