背包问题（01背包、完全背包、部分背包）

之前写过一篇博客，这次看了下背包九讲，主要看的是部分背包的优化解法，转化的很巧妙，时间复杂度可以达到O(n*∑log(amount[i])*V)，就是把原先每个背包的数量分成一堆一堆的。

例如，假如物品i有14件，那么我们可以将它转化成若干个01背包问题，这几个子问题的背包价值和代价为1*price,1*cost,2*price,2*cost,4*price,4*cost, 7*price, 7*cost,这样我们总可以将1-13之内的数用这几个数来表示，一般的对于一个amout，我们只需要找到最大k，使得amout-2^(k+1) > 0. 这种优化方法，可以简单的这么理解，就是对于每一个新的子01背包，我们要么选它要么不选它，dp[w]中记录的总是满足条件的最大价值，这样我们总能遍历到任何一个1-13内的状态，使得dp[w]达到最大。

代码如下：

#include <iostream>

using namespace std;

const int m = 100;

const int INF = -1000;

int dp[m];

int maxn(int a, int b)

{

	return a > b ? a : b;

}

/*

如果要求正好装满，则初始化未INF,否则初始化未0

*/

void init()

{

    for(int k = 0; k <= 100; k++)

		dp[k] = INF; //

	dp[0]=0;

}

int zeroOnePack(int price, int cost, int W)

{

	for(int w = W; w >= 1; --w)

	{

		if(w >= cost)

			dp[w] = maxn(price + dp[w - cost], dp[w]);

	}

	return dp[W];

}

int CompletePack(int price, int cost, int W)

{

    for(int w = 1; w <= W; ++w)

	{

		if(w >= cost)

			dp[w] = maxn(price+dp[w-cost], dp[w]);

	}

	return dp[W];

}

int multiPack(int price, int cost, int amount, int W)

{

	if(amount*cost >= W)

		CompletePack(price, cost, W);

	else

	{

		int k = 1;

		while(k < amount)

		{

			zeroOnePack(k*price, k*cost, W);

			amount -= k;

			k *= 2;

		}

		zeroOnePack(amount*price, amount*cost, W);

	}

	cout<<dp[W]<<endl;

	return dp[W];

}

int main()

{

	int price[5] = {1,2,3};

	int cost[5] = {5,2,4};

	int amount[5] = {2,2,2};

	init();

	for(int i = 0; i < 3; ++i)

	    multiPack(price[i], cost[i], amount[i], 5);

	return 0;

}