例2.34 考虑N个人,一些人赞同某个提议,另一些人反对。假定Np个人赞同,N-Np人反对,p未知。现在想要通过随机选取n个人调查他们的态度,并由此来估计总体中赞同这个提议的人员比例p。
设Xi=1表示第i个选到的人赞同。用被取样部分中赞同这个提议的比率作为p的估计,即ΣXi/n,i=[1..n]。
现在我们要求这个估计的方差。先求Var(ΣXi):
Var(ΣXi)=ΣVar(ΣXi)+2ΣΣCov(Xi, Xj)
初看起来和式的第二项貌似多余:每个人的意见不是应该独立的吗?
嗯,每个人的意见确实是独立的没错,但另一方面,比如抽出第一个人后,相当于少了一个赞同或反对的人,这样剩余人员的赞同或反对的比例是一定会发生变化的,因此随机变量Xi和Xj是非独立的,但同分布。参考E和Var的计算过程。
次序统计量
Xi小于等于x当且仅当X1,...Xn至少有i个小于或等于x。
初看起来不太好理解,上图。
X1 X2 ... Xi-2 Xi-1 Xi Xi+1 Xi+2 ... Xn
----------------------------------x----------->
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x在这里
如上图是Xi小于x的情况,共有i+2个小于等于x。