第15课 子空间投影

投影

想找到直线上离某点最近的一点。将投影到，是一个一维空间，找到离线最近的点，该投影点为，为与之间的误差，投影是的数，所以我们要找的就是 。

正交条件式子（14-(1)：表示第14课第一个表达式）

a垂直e得到如下方程：

的表达式；

映射的式子(投影)：投影是一个投影矩阵作用于随便某个向量

是一个数，即长度的平方

是一列乘一行是一个矩阵

属于的列空间到了这条线上

性质：

• 的列空间，随便你用什么乘以这个矩阵，总会停在它的列空间里。用任何向量乘以这个矩阵，你总会得到在它列空间里的向量，这就是列空间的作用
• 的秩是1，一列乘一行，得到一个秩为1的矩阵，这个列是空间的基
• ，对称
• ,投影2次的结果和投影一次的结果是一样的

为什么要投影

先说说为啥要这个投影，然后就会明白它究竟是个啥，最后运用它。

为什么要讲投影？
​ 因为也许会无解，由于“坏数据”过多，只能求最接近那个问题的解。
​ 然而哪个才是最接近的解呢？
​ 总是在的列空间里，而不一定在，这是问题所在。
​ 我们要做微调，将它变成列空间中最接近它的那一个，
​ 将问题换作求解，有解的，是在列空间上的投影，这就是做投影的原因，因为必须找个解出来，不是那个不存在的，而是最接近解，找出最好的那个投影
​ 列空间内最合适的右侧向量是什么，它必须很接近，然后就能求解了

三维空间里一平面，一个不在平面上的向量，将投影在平面上，平面的一组基，得到使投影到平面上最近点的公式

平面是矩阵的列空间。向量，通常不在列空间里，若在列空间里，投影结果就是自己，通常情况会有个误差向量，通常不为，

投影，求 ;

问题关键：；垂直平面，垂直，垂直

方程和表示成矩阵形式：

位于的零空间()，垂直的列空间()

是什么？是方程的解

投影是什么？

投影矩阵是什么？

式括号中的逆运算不能拆开，除非为可逆方阵 ,因此式为投影矩阵的唯一形式

三维投影矩阵的特性与一维是一样的

最小二乘拟合直线

点数据：

(1,1),(2,2),(3,2)

未知方程(拟合直线方程)

将点数据分别代入未知方程，得到如下3个方程：

以下为方程的矩阵形式：

无解，但同时两边乘以，得如下形式:

式可以求出最优解:

式左边得式：

式右边得式：

由式推出：

将和代入式得最优直线:

为线上的点，在列空间里，是矩阵列的一个组合

将代入方程得：