欧几里得旅行商问题

注：本文转载自网络，笔者略有改动，感谢作者整理。     

欧几里得旅行商问题，又叫货郎问题(Traveling Salesman Problem，简称“TSP”)也叫货郎担问题，中国邮路问题，旅行商问题等,是计算机算法理论历史上的经典问题。在过去几十年中，它成为许多重要算法思想的测试平台，同时也促使一些新的理论领域的产生，比如多面体理论和复杂性理论。 货郎问题：给定n个结点和任意一对结点{i，j}之间的距离为dist(i，j)，要求找出一条闭合的回路，该回路经过每个结点一次且仅一次，并且该回路的费用最小，这里的费用是指每段路径的距离和。 货郎问题求解其精确解是NP难的，并且求解任意常数因子近以度的解也是NP难的。若将问题限定在欧氏平面上，就成为欧氏平面上的货郎问题,也叫欧几里德旅行商问题(Eculid Traveling Salesman Problem)。但是，即使是欧氏平面上的货郎问题也是NP难的。因此通常用来解决TSP问题的解法都是近似算法。其中第一个欧几里德旅行商问题的多项式近似算法是Arora在1996年使用随机平面分割和动态规划方法给出的。

    J.L. Bentley 建议通过只考虑双调旅程(bitonic tour)来简化问题,这种旅程即为从最左点开始，严格地从左到右直至最右点，然后严格地从右到左直至出发点。事实上，存在确定的最优双调路线的O(n*n)时间的算法。

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 2 *        Bitonic path (详见《算法导论》 P217)                                                                                   

 3 *        一个人从p1严格地增的走到pn，然后再严格递减的回到p1;求总路径的最小值；    6 *        对于1 <= i <= j <= n, 我们定义P(i, j)是一条包含了P1, P2, P3 …… Pj的途径;                   

 7 *        这条路径可以分成2部分：递减序列与递增序列                                                                

 8 *        起点是Pi(1 <= i <= j)，拐点是P1，终点是Pj, P[i, j]为其最小值；                                     

 9 *        状态转移方程为：                                                                                                                      

10 *        b[1,2] = |P1P2|,                                                                                                                               

11 *        i < j-1时， b[i,j] = b[i,j-1] + |Pj-1Pj|    点Pj-1在递增序列中，
   *                   因为要求P(i,j)要求i<=j,所以在此种情况下新的节点是加在递增序列部分的                                                

12 *        i = j-1时， b[i,j] = min{ b[k,j-1] + |PkPj|, 1<= k < j-1 }
   *                           = min{b[k,i]+|PkPj|,1<=k<j-1}  点Pj-1在递减序列中                 

13 *        b[n,n] = b[n-1,n] + |Pn-1Pn|                                                                                                         

14 **********************************************************************/

15 

16 

17 #include <stdio.h>

18 #include <math.h>

19 #define INF 0x7fffffff

20 #define N 201

21 struct point{

22     double x, y;

23 }point[N];

24 int n;

25 double dis[N][N];

26 

27 double distant(int i, int j)

28 {

29     return sqrt((point[i].x - point[j].x)*(point[i].x - point[j].x) + (point[i].y - point[j].y)*(point[i].y - point[j].y));

30 }

31 

32 double dp()

33 {

34     int i, j, k;

35     double temp, b[N][N];

36 

37     b[1][2] = dis[1][2];

38     for (j=3; j<=n; j++)

39     {

40         for (i=1; i<=j-2; i++)

41             b[i][j] = b[i][j-1] + dis[j-1][j];

42 

43         b[j-1][j] = INF;

44         for (k=1; k<=j-2; k++)

45         {

46             temp = b[k][j-1] + dis[k][j];

47             if (temp < b[j-1][j])

48                 b[j-1][j] = temp;

49         }

50     }

51 

52     b[n][n] = b[n-1][n] + dis[n-1][n];

53 

54     return b[n][n];

55 }

56 

57 int main()

58 {

59     int i, j;

60     double ans;

61     while (scanf("%d", &n) > 0)

62     {

63         for (i=1; i<=n; i++)

64             scanf("%lf %lf", &point[i].x, &point[i].y);

65 

66         for (j=2; j<=n; j++)

67             for (i=1; i<j; i++)

68                 dis[i][j] = distant(i,j); 

69 

70         ans = dp();

71 

72         printf("%.2lf\n", dp());

73     }

74 }